Обратеые тригонометрические функции

Форум пользователей пакета Mathematica

Модератор: Admin

arnbog
Сообщения: 61
Зарегистрирован: Вт май 09, 2006 12:01 pm

Обратеые тригонометрические функции

Сообщение arnbog » Чт янв 21, 2010 5:27 pm

Подскажите, пожалуйста, как получить соотношение
ArcSin[x*Sqrt[1-y^2]-y*Sqrt[1-x^2]]=ArcSin[x]-ArcSin[y]средствами Mathematica?

Почему TrigExpand не выполняет это преобразование?
спасибо

Sashamandra
Сообщения: 46
Зарегистрирован: Сб янв 09, 2010 8:22 am

Re: Обратеые тригонометрические функции

Сообщение Sashamandra » Чт янв 21, 2010 10:10 pm

arnbog писал(а):Подскажите, пожалуйста, как получить соотношение

Думаю, никак не получится, потому что

Код: Выделить всё

{ArcSin[x*Sqrt[1-y^2]-y*Sqrt[1-x^2]], ArcSin[x]-ArcSin[y]}/.{x->1,y->-1}
{0, Pi}

arnbog
Сообщения: 61
Зарегистрирован: Вт май 09, 2006 12:01 pm

Re: Обратеые тригонометрические функции

Сообщение arnbog » Чт янв 21, 2010 11:34 pm

Sashamandra писал(а):
arnbog писал(а):Подскажите, пожалуйста, как получить соотношение

Думаю, никак не получится, потому что

Код: Выделить всё

{ArcSin[x*Sqrt[1-y^2]-y*Sqrt[1-x^2]], ArcSin[x]-ArcSin[y]}/.{x->1,y->-1}
{0, Pi}

Я взял это выражение из книги А.М.Половко "Mathematica для студента", в которой автор предлагает выполнить его как упражнение. Я думаю, что автор уверен в том, что Mathematica может доказать это соотношение. Но как?...
спасибо

Gordon
Сообщения: 300
Зарегистрирован: Вт сен 08, 2009 8:16 pm

Сообщение Gordon » Пт янв 22, 2010 1:16 am

Вроде true

Код: Выделить всё

exprL = ArcSin[x*Sqrt[1 - y^2] - y*Sqrt[1 - x^2]];
exprR = ArcSin[x] - ArcSin[y];
exprL2 = Sin[exprL]
exprR2 = Sin[exprR]
exprL3=TrigExpand[exprL2]
exprR3=TrigExpand[exprR2]
exprL3 == exprR3

Sashamandra
Сообщения: 46
Зарегистрирован: Сб янв 09, 2010 8:22 am

Сообщение Sashamandra » Пт янв 22, 2010 1:25 am

Gordon писал(а):Вроде true

Код: Выделить всё

Sin[0]==Sin[Pi]
true, но не

Gordon
Сообщения: 300
Зарегистрирован: Вт сен 08, 2009 8:16 pm

Сообщение Gordon » Пт янв 22, 2010 1:57 am

Если принять ArcSin[x] и ArcSin[y] как абсолютные значения углов, в пределах от 0 до Pi/2, то будет True.

Код: Выделить всё

{ArcSin[x*Sqrt[1 - y^2] - y*Sqrt[1 - x^2]],
  Abs[ArcSin[x]] - Abs[ArcSin[y]]} /. {x -> 1, y -> -1}


А вот, что получается если ArcSin[y] перебросить в левую часть:

Код: Выделить всё

exprL = ArcSin[y] + ArcSin[x*Sqrt[1 - y^2] - y*Sqrt[1 - x^2]];
exprR = ArcSin[x];
exprL2 = Sin[exprL]
exprR2 = Sin[exprR]
exprL3=TrigExpand[exprL2]
exprR3=TrigExpand[exprR2]
Reduce[exprL3 == exprR3, {x, y}, Reals]

Получается (-1 <= x <= 0 && -1 <= y <= Sqrt[1 - x^2]) || (0 < x <=
1 && -Sqrt[1 - x^2] <= y <= 1) - один из пределов у зависит от значения х. Поэтому получалось не true если {x->1,y->-1} т.к. при x=1, y>=0

Sashamandra
Сообщения: 46
Зарегистрирован: Сб янв 09, 2010 8:22 am

Сообщение Sashamandra » Пт янв 22, 2010 2:12 am

Gordon писал(а):Если принять ArcSin[x] и ArcSin[y] как абсолютные значения углов, в пределах от 0 до Pi/2, то будет True.

А если принять 0==Pi, то тоже будет True.

Gordon
Сообщения: 300
Зарегистрирован: Вт сен 08, 2009 8:16 pm

Сообщение Gordon » Пт янв 22, 2010 2:22 am

0 == Pi даст False, и это действительно True :lol:

Sashamandra
Сообщения: 46
Зарегистрирован: Сб янв 09, 2010 8:22 am

Сообщение Sashamandra » Пт янв 22, 2010 2:32 am

Gordon писал(а):0 == Pi даст False

Даст False,потому что вы 0 == Pi не приняли, а проверили.

Gordon
Сообщения: 300
Зарегистрирован: Вт сен 08, 2009 8:16 pm

Сообщение Gordon » Пт янв 22, 2010 2:45 am

Аа действительно :D

Код: Выделить всё

FullSimplify[
 ArcSin[x*Sqrt[1 - y^2] - y*Sqrt[1 - x^2]] == (ArcSin[x] - ArcSin[y]),
  Assumptions -> 0 == Pi]

графики этих функций:

Код: Выделить всё

Plot3D[{ArcSin[
   x*Sqrt[1 - y^2] - y*Sqrt[1 - x^2]], (ArcSin[x] -
    ArcSin[y])}, {x, -1, 1}, {y, -1, 1}]

их разность

Код: Выделить всё

Plot3D[ArcSin[
   x*Sqrt[1 - y^2] - y*Sqrt[1 - x^2]] - (ArcSin[x] -
    ArcSin[y]), {x, -1, 1}, {y, -1, 1}, WorkingPrecision -> 30,
 PlotPoints -> 30]

Gordon
Сообщения: 300
Зарегистрирован: Вт сен 08, 2009 8:16 pm

Сообщение Gordon » Пт янв 22, 2010 2:47 am

Еще можно было так: :D :shock:

Код: Выделить всё

FullSimplify[
 ArcSin[x*Sqrt[1 - y^2] - y*Sqrt[1 - x^2]] == (ArcSin[x] - ArcSin[y]),
  Assumptions ->
  ArcSin[x*Sqrt[1 - y^2] - y*Sqrt[1 - x^2]] == ArcSin[x] - ArcSin[y]]
:roll:

Sashamandra
Сообщения: 46
Зарегистрирован: Сб янв 09, 2010 8:22 am

Сообщение Sashamandra » Пт янв 22, 2010 2:59 am

Постройте график

Код: Выделить всё

RegionPlot[ArcSin[x*Sqrt[1-y^2]-y*Sqrt[1-x^2]]==(ArcSin[x]-ArcSin[y]),{x,-1,1},{y,-1,1}]

и увидите, где True, а где не True.

arnbog
Сообщения: 61
Зарегистрирован: Вт май 09, 2006 12:01 pm

Сообщение arnbog » Пт янв 22, 2010 12:32 pm

Sashamandra писал(а):Постройте график

Код: Выделить всё

RegionPlot[ArcSin[x*Sqrt[1-y^2]-y*Sqrt[1-x^2]]==(ArcSin[x]-ArcSin[y]),{x,-1,1},{y,-1,1}]

и увидите, где True, а где не True.

Уважаемые Gordon и Sashamandra, всё, что вы предложили - очень интересно, но приходится сделать вывод, что в Mathematica отсутствует функция, которая бы преобразовала ArcSin[x*Sqrt[1-y^2]-y*Sqrt[1-x^2] в ArcSin[x]-ArcSin[y].
спасибо

Sashamandra
Сообщения: 46
Зарегистрирован: Сб янв 09, 2010 8:22 am

Сообщение Sashamandra » Пт янв 22, 2010 1:07 pm

arnbog писал(а):приходится сделать вывод, что в Mathematica отсутствует функция, которая бы преобразовала ArcSin[x*Sqrt[1-y^2]-y*Sqrt[1-x^2] в ArcSin[x]-ArcSin[y].

А вы хотите, чтобы она была?

arnbog
Сообщения: 61
Зарегистрирован: Вт май 09, 2006 12:01 pm

Сообщение arnbog » Пт янв 22, 2010 1:14 pm

Sashamandra писал(а):
arnbog писал(а):приходится сделать вывод, что в Mathematica отсутствует функция, которая бы преобразовала ArcSin[x*Sqrt[1-y^2]-y*Sqrt[1-x^2] в ArcSin[x]-ArcSin[y].

А вы хотите, чтобы она была?

Да.
спасибо