Числа Смита и магические квадраты

Форум для обсуждения вопросов математики

Модератор: Admin

nataly-mak
Сообщения: 29
Зарегистрирован: Вс авг 17, 2008 5:45 pm
Контактная информация:

Числа Смита и магические квадраты

Сообщение nataly-mak » Сб окт 17, 2009 6:40 am

Тема магических квадратов сама по себе очень интересна. Я давно занимаюсь этой темой. По традиционным магическим квадратам, кажется, решены все задачи: найдены методы построения квадратов любого порядка и всех видов. В настоящее время занимаюсь нетрадиционными магическими квадратами, это такие магические квадраты, которые заполняются произвольными натуральными числами. В этой области есть два направления: 1) нетрадиционные магические квадраты из простых чисел; 2) нетрадиционные магические квадраты из чисел Смита. Первое разрабатывается довольно давно (примерно с начала прошлого века) и есть уже много результатов. Смотрите, например, три последовательности А073502, А073520 и А164843 в OEIS.
Новые результаты, которые ещё не внесены в OEIS, вы можете посмотреть на форуме dxdy.ru в теме "Магические квадраты".
Второе направление - построение нетрадиционных магических квадратов из чисел Смита - совсем новое. Но и здесь уже получены некоторые результаты (см. на форуме dxdy.ru в той же теме). Однако есть несколько нерешённых задач, например, построение наименьших магических квадратов порядков 6 - 10 из чисел Смита.
Приглашаю всех принять участие в решении этих задач.
Можно подробнее ознакомиться с данной темой в моей статье "Нетрадиционные магические квадраты из чисел Смита". Статья будет в скором времени дополнена новыми результатами.
Лучше один раз увидеть...

nataly-mak
Сообщения: 29
Зарегистрирован: Вс авг 17, 2008 5:45 pm
Контактная информация:

Сообщение nataly-mak » Вт окт 20, 2009 7:18 am

Вчера на форуме dxdy.ru мы с гражданином Италии Stefano Tognon совместными усилиями построили 9 наименьших магических квадратов 10-го порядка из смитов. Вот один из них:

Код: Выделить всё

648  166  355  2362 27   1284 627  2038 2409 2286
1736 588  2218 1255 922  1626 1111 1908 636  202 
861  1903 517  1086 1935 2366 382  762  438  1952
1449 1921 1822 1642 483  4    2326 666  94   1795
778  562  2461 576  1966 1872 391  958  2373 265 
2484 913  706  2173 645  654  852  1881 1165 729 
2155 535  2079 1962 1678 319  1894 663  22   895 
1219 2265 85   454  121  915  1776 2227 1507 1633
526  1282 378  58   2583 2434 985  825  1376 1755
346  2067 1581 634  1842 728  1858 274  2182 690

Теперь осталось построить всего 4 наименьших квадрата из смитов: для порядков 6 - 9. Ну, разумеется, в сторону больших порядков можно продолжать построение бесконечно, насколько хватит сил у наших программ и наших компьютеров :)
Но главное - квадраты порядков 6 - 9. Дело в том, что для маленьких порядков очень эффективные программы Stefano Tognon не работают (а для больших порядков они работают замечательно).
Лучше один раз увидеть...

nataly-mak
Сообщения: 29
Зарегистрирован: Вс авг 17, 2008 5:45 pm
Контактная информация:

Сообщение nataly-mak » Ср окт 21, 2009 8:46 am

Ещё один результат получен: составлен наименьший магический квадрат 10-го порядка из последовательных чисел Смита:

Код: Выделить всё

728  2461 562  1633 1872 1678 852  2265 1736 1894
2785 2373 2155 391  645  1219 861  2409 922  1921
2079 913  2218 985  2745 663  2583 762  825  1908
1165 706  2556 2067 2605 2614 778  588  636  1966
666  1581 1255 2576 648  2722 2578 1935 1282 438 
729  2326 1111 1626 378  1507 1962 1449 2227 2366
535  483  895  1822 634  1952 2688 1795 2515 2362
2434 958  2484 454  2475 1858 576  1642 2173 627 
2679 2038 690  1376 1903 1086 2286 2182 526  915 
1881 1842 1755 2751 1776 382  517  654  2839 1284

Квадрат составлен из следующего массива последовательных смитов: 378, 382, ..., 2785, 2839. Магическая константа квалрата равна 15681.
Интересно отметить, что квадраты 10-го порядка строятся в два этапа: первый этап выполняется по моей программе, это генерация полумагических квадратов в большом количестве. Второй этап выполняется по программе Stefano Tognon, это превращение полумагических квадратов, полученных на первом этапе, в магические. Понятно, что не каждый полумагический квадрат можно превратить в магический. Так, например, из 202 полумагических квадратов получено всего 9 магических.
А вот магические квадраты 3 - 9 порядков из последовательных смитов пока не построены. Один участник форума проверил массив смитов до 10-миллиардного значения, но квадрат 3-го порядка из последовательных смитов так и не составился. Если такой квадрат существует, он будет составлен из астрономических чисел. Кто может проверить такие большие числа смита на предмет составления магического квадрата 3-го порядка из последовательных смитов? Программа для составления квадрата 3-го порядка пишется очень просто. У меня есть также программа построения магических квадратов 4-го порядка из заданного массива чисел, состоящего ровно из 16 чисел. Я проверила по этой программе 800 кандидатов в магический квадрат из последовательных смитов, магический квадрат не найден. Дальше не могу проверить, закончился мой массив смитов :)
Лучше один раз увидеть...

nataly-mak
Сообщения: 29
Зарегистрирован: Вс авг 17, 2008 5:45 pm
Контактная информация:

Сообщение nataly-mak » Ср окт 28, 2009 6:26 am

Может быть, кому-нибудь интересна программа генерации смитов. На форуме dxdy.ru в теме "Магические квадраты" (раздел "Дискуссионные темы") только что выложили программу генерации смитов в интервале (2, 10 000 000 000).

А это единственный известный на сегодня магический квадрат 6-го порядка из смитов:

Код: Выделить всё

3004618 2902    21226   22      1446178 681817 
682609  20542   1446538 3004186 562     2326   
2362    682177  382     1446934 3004402 20506   
94      1446142 1822    682681  21262   3004762
1446106 3004654 682897  20362   1966    778     
20974   346     3003898 2578    682393  1446574

Магическая константа этого квадрата равна 5156763. А надо построить квадрат 6-го порядка из смитов с минимальной магической константой. Теоретическая минимальная константа такого квадрата равна 2460.
Лучше один раз увидеть...

nataly-mak
Сообщения: 29
Зарегистрирован: Вс авг 17, 2008 5:45 pm
Контактная информация:

Сообщение nataly-mak » Пт окт 30, 2009 12:59 pm

Товарищи программисты! (если здесь таковые имеются :) )
Предлагается для реализации оригинальный алгоритм построения магического квадрата 6-го порядка из смитов. Алгоритм изложен здесь:
http://dxdy.ru/post256539.html#p256539
Алгоритм можно применить и для квадратов 5-го порядка. Как будет для порядков больших 6, пока не знаю. Сначала очень хочется получить программу для порядков 5 и 6 и посмотреть, как она будет работать.
Напомню, что задача построения наименьшего магического квадрата 6-го порядка из смитов является нерешённой. Не построены также наименьшие магические квадратв порядков 5 и 6 из последовательных смитов.
На Бейсике алгоритм реализован поэтапно и протестирован на изестном магическом квадрате (см. этот квадрат в предыдущем посте). Всё работает прекрасно. Но объединить все этапы в общую программу и выполнить в полном объёме, это Бейсик не тянет.
Лучше один раз увидеть...

nataly-mak
Сообщения: 29
Зарегистрирован: Вс авг 17, 2008 5:45 pm
Контактная информация:

Сообщение nataly-mak » Чт янв 14, 2010 3:57 am

Да, похоже очень непопулярна тема магических квадратов...
Сообщаю, что наименьшие магические квадраты порядка 6 из чисел Смита (из последовательных и из произвольных) построены. Теперь остались на построены наименьшие квадраты порядков 7 - 9 из чисел Смита.
Задача оказалась очень сложной. Мы с итальянцем вот уже третий месяц над ней бьёмся. Больше никто не хочет помочь :(
Лучше один раз увидеть...

nataly-mak
Сообщения: 29
Зарегистрирован: Вс авг 17, 2008 5:45 pm
Контактная информация:

Сообщение nataly-mak » Чт фев 04, 2010 3:11 pm

На форуме dxdy.ru найден наименьший магический квадрат из последовательных чисел Смита:

Код: Выделить всё

84138954584 84138954498 84138954532
84138954486 84138954538 84138954590
84138954544 84138954578 84138954492


Автор квадрата Макс Алексеев.

Сложность этой задачи состояла в том, что для её решения пришлось сгенерировать очень большие числа Смита.

Теперь остались не построены квадраты порядков 4 - 5, 7 - 9 из последовательных чисел Смита; а из произвольных - только квадраты порядков 7 - 9 осталось построить.

Ну, разумеется, не считая квадратов больших порядков. Квадраты из последовательных смитов построены до порядка 50, а квадраты из произвольных - до порядка 35.
Лучше один раз увидеть...

nataly-mak
Сообщения: 29
Зарегистрирован: Вс авг 17, 2008 5:45 pm
Контактная информация:

Сообщение nataly-mak » Вс мар 21, 2010 4:05 pm

Один магический квадрат 7-го порядка из последовательных смитов найден:

Код: Выделить всё

778  861  319 1284  517 1086  706
588  636  648  913  985 1219  562
355  526  922  645  627  895 1581
729  728  576  654 1376  825  663
483 1282  382  915 1165  634  690
1507  852 1255  762  346  438  391
1111  666 1449  378  535  454  958

Магическая константа квадрата равна 5551.

Но нет пока уверенности в том, что это наименьший квадрат. Пропущены два потенциальных массива из последовательных смитов, которые дают магические константы 4167 и 4500.

Необходимо убедиться в том, что из этих массивов построить магические квадраты 7-го порядка невозможно.
Или же наоборот в том, что это возможно.
Лучше один раз увидеть...

nataly-mak
Сообщения: 29
Зарегистрирован: Вс авг 17, 2008 5:45 pm
Контактная информация:

Пандиагональные квадраты из чисел Смита

Сообщение nataly-mak » Пт ноя 05, 2010 5:13 am

Сейчас в построении магических квдаратов актуальна тема построения пандиагональных, идеальных и совершенных магических квадратов из простых чисел и из чисел Смита.
Как всегда, магические квадраты из простых чисел строятся намного проще, чем квадраты из чисел Смита.
Но всё же удаётся и из чисел Смита построить некоторые пандиагональные квадраты.
Вот, например, пандиагональный квадрат 8-го порядка:

Код: Выделить всё

391 778 677101 675058 498514 637474 184018 46714
958 2578 674914 663934 629194 412078 54958 281434
514597 657274 167935 26914 16474 20578 661018 655258
633694 490558 50458 202954 5458 81058 670414 585454
181498 42538 495994 633298 679621 679234 2911 4954
50818 267934 625054 398578 679054 677434 5098 16078
663538 659434 18994 24754 165415 22738 512077 653098
674554 598954 9598 94558 46318 189454 629554 477058

Магическая константа квадрата равна 2720048.
Требуется найти квадрат с меньшей магической константой.

Для порядка 6 никак не удаётся доказать минимальность построенного пандиагонального квадрата с магической константой 5964.

Нет пока ни одного пандиагонального квадрата 9-го порядка ни из простых чисел, ни из чисел Смита. Думаю над алгоритмом построения такого квадрата.

Одним словом, нерешённых задач в этой области очень много и довольно сложных задач.
Приглашаю всех принять участие в их решении.

Сейчас пытаюсь построить пандиагональный квадрат 13-го порядка из простых чисел, 11-го порядка построила.
По разработанному алгоритму удалось построить пандиагональный квадрат 7-го порядка из чисел Смита, но тоже с очень большой магической константой.

Подробнее здесь.
Лучше один раз увидеть...

nataly-mak
Сообщения: 29
Зарегистрирован: Вс авг 17, 2008 5:45 pm
Контактная информация:

Сообщение nataly-mak » Пт ноя 12, 2010 1:30 pm

Приглашаю всех на конкурс "Нетрадиционные пандиагональные квадраты":
http://dxdy.ru/topic38320.html
Лучше один раз увидеть...

nataly-mak
Сообщения: 29
Зарегистрирован: Вс авг 17, 2008 5:45 pm
Контактная информация:

Сообщение nataly-mak » Пт июл 08, 2011 12:11 pm

На форуме dxdy.ru сегодня стартовал второй конкурс "Нетрадиционные пандиагональные квадраты":
http://dxdy.ru/topic47699.html

На одном из форумов возник спор: к какому классу отнести задачи конкурса - математическим или программистским.

Можно много спорить на эту тему, но лучше решать задачи :)
Напомню только, что магические квадраты составляли и три века назад, когда о программировании вообще ничего не знали.

Приглашаю всех желающих!

На конкурс предлагается 10 задач, но можно решить одну или несколько на выбор.

Жду ваших решений!
Лучше один раз увидеть...

aserder
Сообщения: 4
Зарегистрирован: Вт авг 09, 2011 7:49 pm

Сообщение aserder » Ср авг 10, 2011 6:33 pm

ИзображениеИзображениеИзображение Говорила мама учи математику

hobitt
Сообщения: 1
Зарегистрирован: Вт окт 11, 2011 10:48 am

Сообщение hobitt » Вт окт 11, 2011 11:01 am