Математическое выражение для кривой

Форум для обсуждения вопросов математики

Модератор: Admin

grizko
Сообщения: 12
Зарегистрирован: Пн июн 22, 2009 5:49 pm
Откуда: Нижневартовск
Контактная информация:

Математическое выражение для кривой

Сообщение grizko » Пн июн 22, 2009 6:53 pm

Здравствуйте. Подскажите пожалуйста, как записать в виде математического выражения, уравнение кривой приведённой на изображении (пунктирная линия S), чтобы выполнялись следующие условия:
1. Максимальное значение соотношения R/r при минимальном угле сектора альфа (отрезок S).
2. Минимальное сопротивление прохождению водилом К сектора S, при том что водило К обладает некоторой массой М (сила тяжести направленна вниз относительно изображения).
3. Величина L равная R+r, должна обеспечиватся по всему периметру, при условии прохождения L (К) через ось вращения О (верхний отрезок S - зависим от нижнего).

Извиняюсь за стиль изложения и за наглядность изображения (я далёк от черчения, и ещё дальше от математики). Заранее благодарен за помощь.[/b][/i]
Изображение

nn910
Сообщения: 55
Зарегистрирован: Чт май 21, 2009 1:20 pm

Re: Математическое выражение для кривой

Сообщение nn910 » Вт июн 23, 2009 3:44 pm

grizko писал(а):1. Максимальное значение соотношения R/r при минимальном угле сектора альфа (отрезок S).
2. Минимальное сопротивление прохождению водилом К сектора S, при том что водило К обладает некоторой массой М (сила тяжести направленна вниз относительно изображения).
3. Величина L равная R+r, должна обеспечиватся по всему периметру, при условии прохождения L (К) через ось вращения О (верхний отрезок S - зависим от нижнего).
Не буду пока приводить вычислений,но получилось, что пунктирная линия должна быть как можно ближе к отрезку прямой.И могла бы быть им если не нужно скругление.
Как я понимаю механику,в пункте 2 волнует не среднее сопротивление,а максимальное,какое возникнет при прохождении пунктира.Также исходил из фиксированных угла альфа и отношения радиусов.Задача оптимизирования сразу трех функций(п.1.-2 шт и п.2) математически неправильна, пока не заданы относительные степени их важности.Вспомните:"или дудочка,или кувшинчик..."

grizko
Сообщения: 12
Зарегистрирован: Пн июн 22, 2009 5:49 pm
Откуда: Нижневартовск
Контактная информация:

Сообщение grizko » Вт июн 23, 2009 7:04 pm

Если бы не было нужно скругление, то вопрос о формуле кривой и не встал бы. Скругление необходимо для того, что бы и сключить ударные нагрузки в момент начала перехода, и по окончанию перехода с большого на малый радиус. Не обходимо в первую очередь добится максимально возможного соотношения
R/r, но его нельзя увеличивать бесконечно - так как при значиетельных соотношениях R/r средний участок кривой S превысит угол 45 градусов по отношению к водилу К, а это окажет серёзное сопротивление. К тому же увеличивать сектор кривой больше 45 градусов также нежелательно, так как водило должно менять крайние положения за минимальное время.
И ещё интересен момент инерции и его зависимость от массы водила, и скорости вращения.
Мне где-то встречалась задача, по раскройке из листового железа определённого размера - ящика определённого объёма. Там необходимо было оптимизировать (в MathCAD) раскрой листа. Вот что-то подобное нужно и в этом случае.

nn910
Сообщения: 55
Зарегистрирован: Чт май 21, 2009 1:20 pm

Сообщение nn910 » Чт июн 25, 2009 3:50 pm

grizko писал(а):Если бы не было нужно скругление, то вопрос о формуле кривой и не встал бы. Скругление необходимо для того, что бы и сключить ударные нагрузки в момент начала перехода, и по окончанию перехода с большого на малый радиус. Не обходимо в первую очередь добится максимально возможного соотношения
R/r, но его нельзя увеличивать бесконечно - так как при значиетельных соотношениях R/r средний участок кривой S превысит угол 45 градусов по отношению к водилу К, а это окажет серёзное сопротивление. К тому же увеличивать сектор кривой больше 45 градусов также нежелательно, так как водило должно менять крайние положения за минимальное время.
И ещё интересен момент инерции и его зависимость от массы водила, и скорости вращения.
Мне где-то встречалась задача, по раскройке из листового железа определённого размера - ящика определённого объёма. Там необходимо было оптимизировать (в MathCAD) раскрой листа. Вот что-то подобное нужно и в этом случае.
Необходимость скругления не сильно ухудшает оптимизируемые параметры,немного увеличит либо альфу,либо угол наклона среднего участка кривой S.Поэтому скругление добавите сами.Получается следующее: R/r невозможно сделать больше 1,4142, если средний участок кривой 45 градусов к горизонту, и какие бы послабления не давать в остальных условиях.Зато при этом угол альфа ровно 45 и не нужно скругления на меньшем радиусе (пунктирная кривая-отрезок, касательный к окружности r)В общем рисуете 2 окружности отличающиеся в (корень из 2) раз и проводите касательные.
Задача про раскрой листа-решается в уме.Интересные математикам инженерные задачи иногда возникают, но случайно,и без всякой связи с уровнем инженера.

grizko
Сообщения: 12
Зарегистрирован: Пн июн 22, 2009 5:49 pm
Откуда: Нижневартовск
Контактная информация:

Сообщение grizko » Чт июн 25, 2009 7:15 pm

Я всё таки не правильно сформулировал вопрос. Формула мне необходима для того, чтобы CAD-система построила кривую. Не на глаз, а определённым образом, чтобы отрезок длинной L=R+r всегда касался внутреннего периметра своими концами при условии что он находится на точке О (общем центре вращения для обоих радиусов), даже в секторах S.

nn910
Сообщения: 55
Зарегистрирован: Чт май 21, 2009 1:20 pm

Сообщение nn910 » Сб июн 27, 2009 6:42 pm

grizko писал(а):Я всё таки не правильно сформулировал вопрос. Формула мне необходима для того, чтобы CAD-система построила кривую. Не на глаз, а определённым образом, чтобы отрезок длинной L=R+r всегда касался внутреннего периметра своими концами при условии что он находится на точке О (общем центре вращения для обоих радиусов), даже в секторах S.
Действительно ,этого свойства не оказалось по моему недосмотру.Исправляю. Радиус по биссектрисе угла alpha должен быть равен (R+r)/2.От последнего радиуса r до этой точки отрезок,а далее до 90 градусов выпуклая кривая, контролируемая условием L. Все равно наибольший угол наклона к горизонту встретится на первом участке.А отрезок потому,что если хотим минимум макснаклона, то надо делать постоянный наклон. Отношения радиусов 1,4 удается достичь лишь допуская угол наклона=60,при угле=45 отношение до 1,164.

grizko
Сообщения: 12
Зарегистрирован: Пн июн 22, 2009 5:49 pm
Откуда: Нижневартовск
Контактная информация:

Сообщение grizko » Вт июн 30, 2009 5:38 pm

А вот как это можно было бы записать, например в MathCad, чтоб при заданном R или r, производился расчёт остальных параметров, и строился график кривой? Это возможно?

nn910
Сообщения: 55
Зарегистрирован: Чт май 21, 2009 1:20 pm

Сообщение nn910 » Ср июл 01, 2009 6:29 pm

grizko писал(а):А вот как это можно было бы записать, например в MathCad, чтоб при заданном R или r, производился расчёт остальных параметров, и строился график кривой? Это возможно?
Вот чтоя писал когда неправильно понял условие (якобы водило нависает снаружи и давит на вращающуюся грушу) Там хоть стоящие формулы получались.

nn910
Сообщения: 55
Зарегистрирован: Чт май 21, 2009 1:20 pm

Сообщение nn910 » Ср июл 01, 2009 6:35 pm

grizko писал(а):А вот как это можно было бы записать, например в MathCad, чтоб при заданном R или r, производился расчёт остальных параметров, и строился график кривой? Это возможно?
Вот чтоя писал когда неправильно понял условие (якобы водило нависает снаружи и давит на вращающуюся грушу) Там хоть стоящие формулы получались.

grizko
Сообщения: 12
Зарегистрирован: Пн июн 22, 2009 5:49 pm
Откуда: Нижневартовск
Контактная информация:

Сообщение grizko » Чт июл 02, 2009 7:23 pm

[/quote]Вот чтоя писал когда неправильно понял условие (якобы водило нависает снаружи и давит на вращающуюся грушу) Там хоть стоящие формулы получались.[/quote]

Спасибо за помощь, это не совсем то что я ожидал. Для моего понимания представленная формула, слишком сложная. А как её записать в AunoCAD или Компас3D, я вообще не представляю. На мой дилетантский взгдяд можно было бы записать формулу в виде (например):
f1(x):=if(x<2,4,2*x) f2(x):=if(x<5,f1(x),10) f(x):=if(x<7,f2(x),24-2*x) x:=1,1.1..10
(пример из учебника, к данной задаче отношения не имеет кроме как способ задания функции)
А сама кривая, в развёрнутом виде должна выглядеть как на прикреплённом рисунке, вот для этого участка и нужна функция которая в приведённом примере f1 записанна как x*2.
Ещё раз спасибо за помощь, видно я со своим косноязычием ещё долго буду объяснять "что же мне нужно" :)
Изображение

nn910
Сообщения: 55
Зарегистрирован: Чт май 21, 2009 1:20 pm

Сообщение nn910 » Чт июл 02, 2009 7:52 pm

grizko писал(а):Для моего понимания представленная формула, слишком сложная. А как её записать в AunoCAD или Компас3D, я вообще не представляю.
А Ваши программы рисуют ли графики в полярных координатах? Здесь как раз это нужно

grizko
Сообщения: 12
Зарегистрирован: Пн июн 22, 2009 5:49 pm
Откуда: Нижневартовск
Контактная информация:

Сообщение grizko » Пт июл 03, 2009 5:03 pm

Нет, не рисуют, но есть возможность строить графические примитивы по заданным функциям.

grizko
Сообщения: 12
Зарегистрирован: Пн июн 22, 2009 5:49 pm
Откуда: Нижневартовск
Контактная информация:

Сообщение grizko » Пн июл 13, 2009 7:01 pm

В предыдущем пояснении к рисунку, мною была допущенна ошибка. Похожую кривую можно построить с помощью y=arctg(x), но только похожую. В данном случае нужна другая функция, пока я не смог понять какая.
Изображение