помогите вывести уравнение конуса.

Форум для обсуждения вопросов математики

Модератор: Admin

Дмитрий_М
Сообщения: 9
Зарегистрирован: Чт май 07, 2009 11:48 pm
Откуда: Нижний Новгород
Контактная информация:

помогите вывести уравнение конуса.

Сообщение Дмитрий_М » Пт май 08, 2009 12:10 am

Помогите. Целую неделю бьюсь над задачей. Есть круговой конус. Его вершина расположена на оси OZ на высоте H. Угол между OZ и осью симметрии конуса равен альфа, а также конус повернут на угол фи в плоскости XOY. Нужно составить уравнение конуса.

Дмитрий_М
Сообщения: 9
Зарегистрирован: Чт май 07, 2009 11:48 pm
Откуда: Нижний Новгород
Контактная информация:

вот рисунок

Сообщение Дмитрий_М » Пт май 08, 2009 12:12 am

вот рисунок
Изображение

YuK
Сообщения: 698
Зарегистрирован: Вт дек 09, 2003 7:42 pm

Сообщение YuK » Пт май 08, 2009 3:27 pm

Возьмите обычное уравнение конуса и поворот сделайте и сдвиг переменных.

Дмитрий_М
Сообщения: 9
Зарегистрирован: Чт май 07, 2009 11:48 pm
Откуда: Нижний Новгород
Контактная информация:

Сообщение Дмитрий_М » Пт май 08, 2009 4:19 pm

поворот относительно oz?? да?

YuK
Сообщения: 698
Зарегистрирован: Вт дек 09, 2003 7:42 pm

Сообщение YuK » Пт май 08, 2009 4:43 pm

относительно прямой x=-y судя по вашему рисунку

Дмитрий_М
Сообщения: 9
Зарегистрирован: Чт май 07, 2009 11:48 pm
Откуда: Нижний Новгород
Контактная информация:

Сообщение Дмитрий_М » Пт май 08, 2009 5:57 pm

так угол фи произвольный... т.е. не прямая x=-y. и еще конус то наклонен к oz под углом альфа.

YuK
Сообщения: 698
Зарегистрирован: Вт дек 09, 2003 7:42 pm

Сообщение YuK » Пт май 08, 2009 6:13 pm

ну значит повернуть вокруг прямой перпендикулярной ОВ, на угол альфа

Kitonum
Сообщения: 2084
Зарегистрирован: Ср дек 31, 2008 1:55 pm
Откуда: г. Пенза

Re: вот рисунок

Сообщение Kitonum » Пт май 08, 2009 9:07 pm

Дмитрий_М писал(а):Есть круговой конус. Его вершина расположена на оси OZ на высоте H. Угол между OZ и осью симметрии конуса равен альфа, а также конус повернут на угол фи в плоскости XOY. Нужно составить уравнение конуса.Вот рисунок
Изображение

Прежде всего, отмечу, что параметры H, alpha, phi определяют только ось конуса, а не сам конус. Поэтому введём ещё один параметр beta - угол между осью конуса и его образующей.
В принципе эту задачу можно решить 2 вращениями. Но такой подход связан с довольно громоздкими вычислениями. Предлагаю гораздо более короткое решение, учитывающее специфику конуса.
Основная идея: точка M(x,y,z) принадлежит поверхности конуса тогда и только тогда, когда угол между векторами AB и AM равен beta. Через координаты этих векторов по известной формуле записыете cos(beta). Это и будет нужное Вам уравнение!!!

Окончательный ответ: (H*tg(alpha)*sin(phi)*x+H*tg(alpha)*cos(phi)*y-H*(z-H))*cos(alpha)/H/sqrt(x^2+y^2+(z-H)^2)=cos(beta).

Код для построения в Maple при частных значениях параметров:

alpha,beta,H,phi:=Pi/5, Pi/10, 10, Pi/4:

plots[implicitplot3d]((H*tan(alpha)*sin(phi)*x+H*tan(alpha)*cos(phi)*y-H*(z-H))/H/sqrt(x^2+y^2+(z-H)^2)*cos(alpha)=cos(beta),x=0..12,y=0..12,z=0..12,numpoints=20000,scaling=constrained,axes=normal);

Дмитрий_М
Сообщения: 9
Зарегистрирован: Чт май 07, 2009 11:48 pm
Откуда: Нижний Новгород
Контактная информация:

Сообщение Дмитрий_М » Вс май 10, 2009 6:17 pm

спс помогло. конус строитсся. теперь подскажите как найти пересечение с плоскостью xoy. в mathcad строится совершенно не то что надо( когда задаешь z=0((

Kitonum
Сообщения: 2084
Зарегистрирован: Ср дек 31, 2008 1:55 pm
Откуда: г. Пенза

Сообщение Kitonum » Вс май 10, 2009 8:51 pm

Дмитрий_М писал(а):спс помогло. конус строитсся. теперь подскажите как найти пересечение с плоскостью xoy. в mathcad строится совершенно не то что надо( когда задаешь z=0((


Уравнение линии пересечения с плоскостью xoy в неявном виде получится, если в уравнение конуса подставите z=0 (получится, естественно, эллипс). В Maple можно построить командой plots[implicitplot].
Почему у Вас не получается в Mathcad не знаю.

Дмитрий_М
Сообщения: 9
Зарегистрирован: Чт май 07, 2009 11:48 pm
Откуда: Нижний Новгород
Контактная информация:

Сообщение Дмитрий_М » Пн май 11, 2009 12:07 am

в маткаде я задаю функцию F(x,y)=(H*tan(alpha)*sin(phi)*x+H*tan(alpha)*cos(phi)*y-H*(-H))/H/sqrt(x^2+y^2+(-H)^2)*cos(alpha)-cos(beta) т.е. при z=0. И строю в трехмерии. но эллипс не получается( может я неправильно строю функцию в неявном виде? но по другому я не знаю как больше... Будьте добры наставьте на путь истиный...

IVVA
Сообщения: 1036
Зарегистрирован: Вт апр 05, 2005 6:44 pm

Сообщение IVVA » Пн май 11, 2009 10:22 am

Можно так
Изображение

IVVA
Сообщения: 1036
Зарегистрирован: Вт апр 05, 2005 6:44 pm

Сообщение IVVA » Пн май 11, 2009 10:30 am

Маткад графики неявных поверхностей не строит (нет там такой функции).
У вас в сечении получится эллипс, подумайте как найти его полуоси.Затем поверните его и перенесите в нужную точку. (поворачивать так же как конус) :)

Kitonum
Сообщения: 2084
Зарегистрирован: Ср дек 31, 2008 1:55 pm
Откуда: г. Пенза

Сообщение Kitonum » Пн май 11, 2009 10:40 pm

Дмитрий_М писал(а):в маткаде я задаю функцию F(x,y)=(H*tan(alpha)*sin(phi)*x+H*tan(alpha)*cos(phi)*y-H*(-H))/H/sqrt(x^2+y^2+(-H)^2)*cos(alpha)-cos(beta) т.е. при z=0. И строю в трехмерии. но эллипс не получается( может я неправильно строю функцию в неявном виде? но по другому я не знаю как больше... Будьте добры наставьте на путь истиный...


Уважаемы Дмитрий_М! Теперь мне стало понятно почему Вам не удаётся построить эллипс как пространственную кривую. Если Вы в уравнение поверхности F(x,y,z)=0 подставите z=0 и будите строить F(x,y,0), то фактически вы строите не линию пересечения этой поверхности с плоскостью z=0, а некоторую новую поверхность, задаваемую явным уравнением z=F(x,y,0). Пространственная кривая задаётся двумя способами:
1) Как пересечение двух поверхностей, т.е. системой уравнений (в Вашем случае это будет система из уравнений F(x,y,z)=0,z=0).
2)Параметрическими уравнениями x=x(t),y=y(t),z=z(t).
Для построения пространственной кривой нужна специальная команда. Не знаю как в Mathcad, а в Maple это plots[spacecurve].
Мне не совсем понятно, зачем Вам пытаться строить плоскую кривую эллипс как пространственную кривую.
Стройте средствами 2d-графики как неявно заданную кривую F(x,y,0)=0, и никаких проблем.

Дмитрий_М
Сообщения: 9
Зарегистрирован: Чт май 07, 2009 11:48 pm
Откуда: Нижний Новгород
Контактная информация:

Сообщение Дмитрий_М » Чт май 14, 2009 11:06 am

Подскажите как мне найти уравнение эллипса,которое получается при пересечении данного конуса и плоскости z=0, или хотябы его полуоси. мне нужно в маткаде строить эллипс, а его расположение и размеры полуосей как раз будут зависеть от начальных параметров конуса(