Задача механики твердого тела

Форум для обсуждения вопросов математики

Модератор: Admin

RazorJack
Сообщения: 3
Зарегистрирован: Чт апр 16, 2009 9:51 pm

Задача механики твердого тела

Сообщение RazorJack » Чт апр 16, 2009 10:22 pm

Вобщем прикреплен файл с картинкой откройте его и посмотрите.
На рисунке изображено абстрактное тело состоящее для простоты из одной точки и связи с центром координат так, что точка может описывать вокруг центра сферу.
На рисунке точка находится в плоскости YZ и, вращаясь вокруг оси Y имеет угловую скорость W. Нужно пояснить что это ее мгновенное состояние. Так как точка имеет угловую скорость то на нее воздействует центростремительное ускорение, и центростремительные силы отбрасывают точку наружу от оси Y.
Так как точка жестко связана с чентром, то действие на нее центростремительной силы эквивалентно действию момента M, который также показан на рисунке. Момент M в свою очередь вызывает угловое ускорение E направленное вдоль оси X. Теперь получается что зная вектор угловой скорости точки и ее положение в пространстве можно найти вектор этого углового ускорения от центробежных сил что действуют на точку. Это не представляет трудностей для одной точки а вот теперь задача: Найти вектор углового ускорения от центробежных сил для произвольного тела зная его мгновенный тензор инерции и вектор углового ускорения.
Делал такое долгое втупление чтобы было понятно о чем идет речь. Ведь на любое тело, что вращается НЕ вокруг центральной оси действуют центробежные силы, которые не смещают центр тяжести, а лишь изменяют вектор углового ускорения, поэтому описал такую модель как точка привязанная к центру.
Быть может кто-то уже решал подобную задачу ? или можно выдернуть решение из какой-то книги ?
Надеюсь на помощь. Спасибо.
Изображение

IVVA
Сообщения: 1036
Зарегистрирован: Вт апр 05, 2005 6:44 pm

Сообщение IVVA » Пт апр 17, 2009 1:03 am

Сначала разберитесь с понятием - центробежная сила.
Центробежная сила - это всего лишь реакция тела
на "причину", вызвавшую центростремительное ускорение :)

RazorJack
Сообщения: 3
Зарегистрирован: Чт апр 16, 2009 9:51 pm

Сообщение RazorJack » Сб апр 18, 2009 8:39 pm

Повторю еще раз: на картинке мгновенное состояние тела, это значит что в следующий момент точка будет описывать другую окружность так как вектор угловой скорости изменится под действием этой самой центробежной силы . Я понимаю что центробежное ускорение вызывает нитка к которой привязан камень который мы крутим вокруг головы и который не упадет нам на голову и не улетит пока нитка не порвется.
Ту силу что отклоняет этот камень я сдесь и назвал центробежной. Точка сдесь является частью твердого тела, которое вращается вокруг центра тажести также как эта точка, связанная с центром невесомой связью.
В каждый момент времени тело, имеющее угловую скорость не совпадающую ни с одной из главных осей инерции, должно испытывать угловое ускорение вызванное действием центробежных сил на все точки тела. Для произвольного тела надо найти вектор этого углового ускорения, зная тензор инерции и вектор угловой скорости. Думаю теперь понятно должно стать.
Почему-то мне кажется что эта задача уже решена. Есть пакеты численной симуляции твердотельных механизмов, ведь там должна учитваться центробежная сила.

Yu_K
Сообщения: 413
Зарегистрирован: Вт май 02, 2006 12:40 pm

Сообщение Yu_K » Вс апр 19, 2009 5:33 am

Может не совсем правильно понял, но походит на сферический маятник - только у вас силы тяжести нет. Есть подход позволяющий расчитать силы с использованием ур-ний Лагранжа. Попробйте погуглить "сферический маятник".

RazorJack
Сообщения: 3
Зарегистрирован: Чт апр 16, 2009 9:51 pm

Сообщение RazorJack » Пн апр 20, 2009 4:00 pm

Нет это не сферический маятник, короче мне нужно просчитать сферическое движение тела (теперь я знаю что это так называется) когда тело вращается вокруг непродвижной точки (центра тяжести). В интернете внятной информации нашел мало и ничего по моей теме.
Вобщем опираясь на ту-же картинку (что выше) вывел момент от центробежных сил для произвольной точи с радиус-вектором r и угловой скоростью W.
Вот формула в векторной форме в матлаб-записи

Код: Выделить всё

M=cross(w,r)*mass*(w.*r)/norm(r);

cross - векторное умножение
norm - длинна вектора
mass - масса точки
(w.*r) - скалярное умножение векторов w и r
w - вектор угловой скорости
r - радиус-вектор точки

раскрывая векторное умножение, приводя подобные можно вывести уравнение для одной из координат момента и, заменив mass*r(1)*r(2)=-Y(1,2) ... mass*(r(2)^2+r(3)^2))=Y(1,1) где Y - тензор инерции можно вывести такую формулу:

Код: Выделить всё

M(1)=(w(2)*w(3)*mass*(r(3)^2-r(2)^2)+Y(2,3)*(w(3)^2-w(2)^2)+w(3)*w(1)*Y(1,2)-w(2)*w(1)*Y(1,3))/norm(r);


Чтобы эта формула подходила для произвольного твердого тела нужно удалить из нее все следы r(:) - радиус вектора. То есть: надо выразить момент M через элементы тензора инерции Y(:,:) и вектор угловой скорости w(:)
Кто мог бы помочь ?

Yu_K
Сообщения: 413
Зарегистрирован: Вт май 02, 2006 12:40 pm

Сообщение Yu_K » Пн апр 20, 2009 5:30 pm

RazorJack писал
На рисунке изображено абстрактное тело состоящее для простоты из одной точки и связи с центром координат так, что точка может описывать вокруг центра сферу.


Если точка превратилась в тело - то это конечно не сферический маятник. Есть хорошо изученная задача про гироскоп - попробуте ее посмотреть.