Эллиптическое уравнение в частных производных

[PyotrL]

Доброе время суток, помогите пожалуйста решить уравнение:
diff(V(x,y),x,x) + diff(V(x,y),y,y) + coth(x)*diff(V(x,y),x) + V(x,y)/4 + 1/(sinh(x))^2*diff(V(x,y),z,z) =0.
с граничными условиями:
V(1,y)=1, V(0.0001,0)=0.
Уже несколько дней ничего не получается(( у меня мапл 11. Может в нем и не получится?

[aar]

Уверены, что уравнение задано правильно? Вот эта производная -- diff(V(x,y),z,z)-- равна нулю.
Какой процедурой решаете?

[PyotrL]

Да, последнее слагаемое можно убрать. (Изначально это было уравнение лапласа в тороидальных координатах. Решение не зависит от третьей переменной.) Решал обычным pdsolve. Методы перебрал все, которые были в мануале.

[GAA]

Пожалуйста, укажите область, в которой ищется решение, и граничные условия. Указанные Вами граничные условия мне непонятны.

[PyotrL]

Изначально, функция V от трех переменных V(x,y,z).
Решение необходимо получить для области 0<=x<1.
при х=1 получаем тор, на котором задан потенциал. это первое граничное условие. Второе: на достаточном удалении от тора потенциал задается нулевым. V(0.0001,0)=0.
Система тороидальных координат определяется при помощи формул: X=c*shx*cosz/(chx-cosy), Y=c*shx*sinz/(chx-cosy), Z=c*siny/(chx-cosy).
Здесь x,y,z-тор. коорд., X,Y,Z-декартовы.
Решение не зависит от координаты z, поэтому я написал V(x,y) и посл слагаемое соотв=0.

[GAA]

Итак, V(x, y) является функцией двух переменных. Следовательно, область двумерная (она не может быть просто отрезком, в частности 0 <= x <= 1). Например, она может быть прямоугольником: 0<=x<=1 & 0<=y<=1; в этом случае граничные условия, для уравнения эллиптического типа, должны быть заданы на всех сторонах прямоугольника.
Укажите, пожалуйста, двумерную область и условия на её границе.

[PyotrL]

Это получается внешняя краевая задача, рассматривается в бесконечной области, ограниченной контуром x=1, это окружность равного потенциала, на ней V=const. Нужно еще одно условие, это равенство нулю функции V на бесконечности. Бесконечная точка: (x,y). В тороидальных координатах это будет напр х->0, y=0. Если Вы раньше не встречались с тороидальными координатам, то на первый взгляд это совсем неочевидно. Или я где-то очень сильно ошибаюсь?

[GAA]

На плоскости (x, y) уравнение x = 1 задает прямую, а не окружность. Нельзя сказать ошибаетесь Вы или нет, потому, что нельзя понять, что Вы решаете. Пожалуйста, укажите аккуратно область после перехода в тороидальные координаты.

[PyotrL]

координаты x,y-это не декартовы, это тороидальные. в тор. с.к. три координаты alpha, beta, phi. я обозначил их x,y,z. в силу симметрии можно убрать z (она же phi). И получим две координаты х и у. наверно я ввел Вас в заблуждение, переобозначив их. но в моих сообщениях декартовы-это X,Y,Z. тороидаьная координата x (alpha) изменяется от 0 до бесконечности. х=0 соответствует тору уходящему на бесконечность. х->бесконечности тор вытягивается в кольцо с r->0.

[GAA]

Я помню, что у Вас x,y,z --- это тороидальные координаты, а X,Y,Z --- это декартовые.
Не надо говорить, что чему соответствует. Просто задайте область в новых (тороидальных) координатах. Затрудняетесь это сделать или сомневаетесь в формулировке --- укажите область в исходных (декартовых) координатах. Если в исходных координатах это "внешность" тора, то укажите, о каком торе идет речь, аналогично, если это "внешность" чего-то другого.

[PyotrL]

Хорошо, на словах: масштабный множитель с=1. тор задается alpha=1. на всей его поверхности равный потенциал, V0. Не суть важно численное значение. Требуется найти решение во внешней области (по отношению к тору). На бесконечности потенциал V=0. Вот вроде все условие. удобнее решать не уравнение лапласа, а немного другое, которое я указал в первом сообщении. Оно получается после замены V'=(2ch(alpha)-2cos(beta))^(1/2)*V

[GAA]

В сообщении «Не умеет» темы Уравнения в частных производных я отметил: 10-ая версия не умеет интегрировать эллиптические уравнения. Как обстоять дела в более поздних версиях не знаю. Надеюсь, откликнутся знатоки.

[GAA]

Во избежание недоразумений и в полном соответствии с написанным Вами выше, еще раз введу обозначения.
Будак Б.М., Самарский А.А., Тихонов А.Н. Сборник задач по математической физике.

Cистема тороидальных координат (alpha, beta, phi) определяется при помощи формул
X = c sh(alpha)cos(phi) / (ch(alpha)-cos(beta)),
Y = c sh(alpha)sin(phi) / (ch(alpha)-cos(beta)),
Z = c sin(beta) / (ch(alpha)-cos(beta)),
где с - масштабный множитель
0 <= alpha < +infinity, -Pi < beta <=+Pi, -Pi < phi <=+Pi.
Уравнение alpha = const задает тор, при этом -Pi < beta <= +Pi, -Pi < phi <= +Pi.

Обозначим alpha, соответствующее тору вне которого ищется решение, через alpha_0.
Если не думать, то кажется имеем следующее. В двумерном случае задача будет рассматриваться в прямоугольнике:
0 < alpha <= alpha_0, Pi < beta <= +Pi.

Непрерывность V(alpha, beta) влечет условие:
V(alpha, -Pi) = V(alpha, +Pi), 0 < alpha <= alpha_0.

Потенциал на торе и бесконечности дают:
V(alpha_0, beta) = V_0, V(0, beta) = 0.

Думаю, можно попросить проверить это, а заодно и поинтересоваться пакетом для вычисления, на форуме Computer Science в разделе «Околонаучный софт». Только постановку задачи лучше всего сразу привести аккуратную и формулы набрать в соответствии с правилами того форума (об этом можно почитать в теме Первые шаги в наборе формул на том сайте). Кстати, заголовок темы лучше выбрать такой: «Уравнение в частных производных эллиптического типа».

[PyotrL]

Большое спасибо за подсказки! попробую сделать так.

[GAA]

Поправка. Исходное условие «на бесконечности потенциал равен нулю» имеет вид V(+0, 0) = 0. Для остальной части «границы» (beta <> 0, alpha=+0) нужно сочинить что-то дополнительно.