Расстояние между точками поверхности.

Форум для обсуждения вопросов математики

Модератор: Admin

алексей_алексей
Сообщения: 1776
Зарегистрирован: Вс май 01, 2005 9:02 pm

Re: Расстояние между точками поверхности.

Сообщение алексей_алексей » Вс янв 26, 2014 6:23 pm

л
Последний раз редактировалось алексей_алексей Чт июн 16, 2016 7:03 pm, всего редактировалось 1 раз.

uni
Сообщения: 1817
Зарегистрирован: Сб ноя 13, 2004 3:06 pm
Откуда: п.г.т. Излучинск
Контактная информация:

Сообщение uni » Пн янв 27, 2014 12:53 am

Помнится мы пытались решить вот такую задачку: http://dxdy.ru/topic5274.html
Так и не дорешали, но я освоил красивые картинки по теме.

Изображение

Кстати, я там статью забугорную нашёл, где длину геодезической по формулам считают:
Direct and inverse solutions of geodesics on the ellipsoid with application of nested equatioins, 1975:
http://www.ngs.noaa.gov/PUBS_LIB/inverse.pdf

IVVA
Сообщения: 1036
Зарегистрирован: Вт апр 05, 2005 6:44 pm

Сообщение IVVA » Пн янв 27, 2014 10:33 pm

Геодезическая не эллипсоиде (замкнутая).
Изображение

алексей_алексей
Сообщения: 1776
Зарегистрирован: Вс май 01, 2005 9:02 pm

Re: Расстояние между точками поверхности.

Сообщение алексей_алексей » Вт янв 28, 2014 5:55 pm

Тему бы переименовать в “кто чего хочет писать и рисовать, тому сюда”.

Ну, и мы тоже немного порисуем, попишем. Хоть и не эллипсоид вращения, но зато немного плоский. Напомню его уравнение:
(1/6)*x1^2+x2^2+6*x3^2-1=0;
И ещё напомню, что надо почитать начало темы для уяснения, какого рода возражения были относительно расположения точек и кратчайшей между ними. С нашей же стороны утверждалось, что “слезть” с геодезической можно, слегка её “пошевелив”. Например, если буквально чуть-чуть отклонить плоскость от плоскости симметрии, проходящую через эти точки, и геодезическая линия, первоначально соединяющая точки, начнёт сокращаться под действием алгоритма, переходя в практически кратчайшее расстояние. И ещё одна картинка, слегка улучшенная:

Изображение

И это тоже метод Драгилева.
А отменные картинки, посвящённые работе алгоритма, в теме на форуме Maple

алексей_алексей
Сообщения: 1776
Зарегистрирован: Вс май 01, 2005 9:02 pm

Re: Расстояние между точками поверхности.

Сообщение алексей_алексей » Чт янв 30, 2014 9:35 pm

а
Последний раз редактировалось алексей_алексей Чт июн 16, 2016 7:03 pm, всего редактировалось 1 раз.

алексей_алексей
Сообщения: 1776
Зарегистрирован: Вс май 01, 2005 9:02 pm

Re: Расстояние между точками поверхности.

Сообщение алексей_алексей » Вс фев 02, 2014 12:41 pm

ц
Последний раз редактировалось алексей_алексей Чт июн 16, 2016 7:04 pm, всего редактировалось 3 раза.

алексей_алексей
Сообщения: 1776
Зарегистрирован: Вс май 01, 2005 9:02 pm

Re: Расстояние между точками поверхности.

Сообщение алексей_алексей » Пн фев 03, 2014 11:16 am

f
Последний раз редактировалось алексей_алексей Чт июн 16, 2016 7:04 pm, всего редактировалось 1 раз.

алексей_алексей
Сообщения: 1776
Зарегистрирован: Вс май 01, 2005 9:02 pm

Re: Расстояние между точками поверхности.

Сообщение алексей_алексей » Вт фев 04, 2014 2:01 pm

g
Последний раз редактировалось алексей_алексей Чт июн 16, 2016 7:04 pm, всего редактировалось 1 раз.

алексей_алексей
Сообщения: 1776
Зарегистрирован: Вс май 01, 2005 9:02 pm

Re: Расстояние между точками поверхности.

Сообщение алексей_алексей » Вт фев 04, 2014 7:45 pm

l
Последний раз редактировалось алексей_алексей Чт июн 16, 2016 7:05 pm, всего редактировалось 1 раз.

алексей_алексей
Сообщения: 1776
Зарегистрирован: Вс май 01, 2005 9:02 pm

Re: Расстояние между точками поверхности.

Сообщение алексей_алексей » Сб фев 08, 2014 1:34 pm

f
Последний раз редактировалось алексей_алексей Чт июн 16, 2016 7:05 pm, всего редактировалось 1 раз.

алексей_алексей
Сообщения: 1776
Зарегистрирован: Вс май 01, 2005 9:02 pm

Re: Расстояние между точками поверхности.

Сообщение алексей_алексей » Сб фев 08, 2014 9:45 pm

d
Последний раз редактировалось алексей_алексей Чт июн 16, 2016 7:05 pm, всего редактировалось 1 раз.

Скептик
Сообщения: 8
Зарегистрирован: Вт дек 24, 2013 5:02 pm
Откуда: Москва

Сообщение Скептик » Вс фев 09, 2014 11:25 am

алексей_алексей писал(а):...Построим в точках нормали к поверхности. Через нормаль в начальной точке и саму конечную точку проведём плоскость, после чего методом Драгилева получим линию пересечения плоскости с поверхностью. Если обе нормали лежат на выбранной плоскости, а исходные точки принадлежат одному и тому же связному участку линии, то до дополнительного исследования (исходя из реальной ситуации) можно считать, что задача решена. ....

Возьмём эллипсоид вращения (см. вкладку). В плоскости чертежа выберем две точки A и B, восстановим к ним зелёные нормали. Через нормали проведём плоскость, она совпадёт с плоскостью чертежа. Кратчайшая синяя линия, лежащая в плоскости и принадлежащая эллипсоиду вращения, в общем случае, не будет минимальной, соединяющей точки A и B. Может найтись красная линия. К тому же не видно, в каком направлении проводить дополнительные исследования.
Если выбрать точки C и D, лежащие в плоскости чертежа, то через нормали к ним можно провести неограниченное количество плоскостей. В общем случае, предложенное решение с использованием нормалей к точкам, не позволяет найти ответ.
алексей_алексей писал(а): ...И ещё напомню, что надо почитать начало темы для уяснения, какого рода возражения были относительно расположения точек и кратчайшей между ними. С нашей же стороны утверждалось, что “слезть” с геодезической можно, слегка её “пошевелив”. Например, если буквально чуть-чуть отклонить плоскость от плоскости симметрии, проходящую через эти точки, и геодезическая линия, первоначально соединяющая точки, начнёт сокращаться под действием алгоритма, переходя в практически кратчайшее расстояние. ...

Если чуть-чуть отклонить плоскость, то мы уйдём с нормалей, а это другое решение задачи, использующее для проведения секущей плоскости не нормали, а линию, соединяющую точки.
Решение задачи в общем виде видится в проведении плоскости через две точки (например, для наглядности, C и D). Вращая плоскость вокруг оси CD, соединяющей точки, получим набор линий пересечения. Среди них найдётся линия минимальной длины.
Изображение

алексей_алексей
Сообщения: 1776
Зарегистрирован: Вс май 01, 2005 9:02 pm

Сообщение алексей_алексей » Вс фев 09, 2014 12:39 pm

f
Последний раз редактировалось алексей_алексей Чт июн 16, 2016 7:06 pm, всего редактировалось 1 раз.

алексей_алексей
Сообщения: 1776
Зарегистрирован: Вс май 01, 2005 9:02 pm

Сообщение алексей_алексей » Вс фев 09, 2014 2:54 pm

w
Последний раз редактировалось алексей_алексей Чт июн 16, 2016 7:06 pm, всего редактировалось 1 раз.

Скептик
Сообщения: 8
Зарегистрирован: Вт дек 24, 2013 5:02 pm
Откуда: Москва

Сообщение Скептик » Вс фев 09, 2014 4:27 pm

алексей_алексей, дело не в картинках, а в методе решения. Вы предложили искать кратчайшее на поверхности расстояние между двумя точками с помощью нормалей к этим точкам. Я на общеизвестном примере показал несостоятельность предложенного вами метода.
Вы при защите своей точки зрения подменили нормали на секущую плоскость, в которой лежит отрезок, соединяющий точки. Тем самым, не доказав возможность решения с помощью нормалей, как было поставлено в первом сообщении, вы незаметно изменили сам метод решения, тем самым согласившись с его не эффективностью. Я лишь постарался изложить метод секущих плоскостей в явном виде.
Но метод секущих плоскостей не даёт решения, если кратчайшего путь по поверхности не может лежать в плоскости. Возьмём тор, повернём его к себе боковой стороной. Затем придадим ему форму буквы Z. Возьмём две точки на противоположных поверхностях тора, соответствующих палочке буквы Z. Очевидно, что любая плоскость, содержащая исходные точки, при пересечении с тором образует непересекающиеся замкнутые кривые. Т.е. для такой поверхности метод секущей плоскости не сможет показать ни одного пути.