Ответьте на вопрос по поводу кривых четвертого порядка

Форум для обсуждения вопросов математики

Модератор: Admin

Sem
Сообщения: 6
Зарегистрирован: Вт фев 14, 2006 10:03 am

Ответьте на вопрос по поводу кривых четвертого порядка

Сообщение Sem » Вт фев 14, 2006 10:06 am

Уравнение точки окружности, вращающейся вокруг другой окружности известно - улика Паскаля.
Каково уравнение точки эллипса, вращающегося вокруг окружности?

dubanov
Сообщения: 331
Зарегистрирован: Вс июл 10, 2005 1:09 pm
Контактная информация:

Сообщение dubanov » Ср фев 15, 2006 5:40 am

Рисунок можно. Плохо представляю.

YuK
Сообщения: 698
Зарегистрирован: Вт дек 09, 2003 7:42 pm

Сообщение YuK » Ср фев 15, 2006 1:48 pm

В принципе, можно катать окружность по любой кривой. И эллипс тоже. В точке касания нормали должны совпадать. Простенький пример здесь - только надо подправить угол поворота зеленой точки. Уравнение ее траектории и даст уравнение кривой.
Изображение

YuK
Сообщения: 698
Зарегистрирован: Вт дек 09, 2003 7:42 pm

Сообщение YuK » Чт фев 16, 2006 9:25 am

Уравнение в параметрическом виде, наверное, можно получить. Но поскольку вопрос вроде предполагает наличие уравнения четвертого порядка - то видимо надо исключить параметр - а это сложновато, однако будет...

Sem
Сообщения: 6
Зарегистрирован: Вт фев 14, 2006 10:03 am

Сообщение Sem » Чт фев 16, 2006 11:56 am

Речь идет вот о чем.
Рассматривается случай отражения от цилиндра пучка лучей, выходящих из точки А(-xa, 0, 0). Все лучи располагаются в одной плоскости параллельной ОY. В сечении получается эллипс. После отражения лучи пересекают плоскость z=Q. В этой плоскости видим кривую, похожую на улитку Паскаля.
Изображение
Формулу в параметрической форме я получил
Изображение
Здесь l - Длина вектора AC (C - точка на оси цилиндра), сигма - угол между плоскостью, содержащей лечи и направляющими цилиндра (и его осью).
Получающаяся кривая (красная) имет "расширена" внешнюю петлю и "суженную" внутреннюю по сравнению с улиткой паскаля (x^2+y^2-ax)^2=b^2(x^2+y^2)(синяя).
Изображение
Так вот: необходимо получить уравнение моей кривой в неявной форме

YuK
Сообщения: 698
Зарегистрирован: Вт дек 09, 2003 7:42 pm

Сообщение YuK » Чт фев 16, 2006 3:32 pm

Красивая задачка. А какой смысл в поиске неявного выражения?

Sem
Сообщения: 6
Зарегистрирован: Вт фев 14, 2006 10:03 am

Сообщение Sem » Чт фев 16, 2006 4:07 pm

Это прикладная задача. Данную кривую я получаю при отражении от колбы люминесцентной лампы. Искомый параметр - радиус колбы. Судя по всему радиус будет входить в b. Суть в том, что изображение этой кривой должно быть аппроксимировано тем уравнением в неявной форме, которое я пытаюсь получить.

Sem
Сообщения: 6
Зарегистрирован: Вт фев 14, 2006 10:03 am

Сообщение Sem » Чт фев 16, 2006 4:10 pm

Сегодня в инете узнал, что линия, полученная отражением от какой-либо кривой (в моем случае видимо от эллипса) называется катакаустикой. Может посоветуете литературу?

dubanov
Сообщения: 331
Зарегистрирован: Вс июл 10, 2005 1:09 pm
Контактная информация:

Сообщение dubanov » Пт фев 17, 2006 5:11 am

Если исключать параметр sin(t) или cos(t). Выражения будут трехэтажные. Но, думаю, конечные. От радикалов избавляться. Трудоемко, но перспективно, я так думаю.
Квадрику решать придется, это точно.
А чем Вы пользуетесь. В смысле, какой пакет.

YuK
Сообщения: 698
Зарегистрирован: Вт дек 09, 2003 7:42 pm

Сообщение YuK » Пт фев 17, 2006 8:50 am

http://www.ssu.samara.ru/~vestnik/est/2 ... 250201.pdf
Как то на http://collab.mathsoft.com/~Mathcad2000 был пример Маткад документа по расчету оптических систем. Но там была плоская задача с кучей зеркал - и Маткад неплохо рисовал картинку этой системы. Можете попробовать там поискать.

Sem
Сообщения: 6
Зарегистрирован: Вт фев 14, 2006 10:03 am

Сообщение Sem » Пт фев 17, 2006 12:23 pm

Уважаемый dubanov пользуемся мы MatLab, но дело в том, что мы больше электронщики а не математики,
а такая задача, как выяснилось немного выходит за рамки матанализа в техническом ВУЗе.
Вопрос, в данном случае, стоит даже не в преобразовании уравнений, а в получении зависимости радиуса освещаемой колбы, от координат отраженных на экран точек кривой.

dubanov
Сообщения: 331
Зарегистрирован: Вс июл 10, 2005 1:09 pm
Контактная информация:

Сообщение dubanov » Сб фев 18, 2006 8:24 am

x=cos(t)
Пытаюсь решить систему. То, что система имеет решение
R=f(sigma), это однозначно. Что Вы хотите?
Получить аналитическое выражение или Вас устроит численное?
Попытки получить решение в лоб будут неудачны. Проверено в Мэппл.
Математиком быть не нужно. Надо иметь чутье инженера. И немного упорства - упрямства.
Изображение
Изображение

Sem
Сообщения: 6
Зарегистрирован: Вт фев 14, 2006 10:03 am

Сообщение Sem » Пн фев 20, 2006 9:19 am

Откровенно говоря, уважаемый Dubanov, из того, что Вы написали ничего не понял.

Во время выходных все мои попытки преобрразовать выражения оказались безрезультатными.

dubanov
Сообщения: 331
Зарегистрирован: Вс июл 10, 2005 1:09 pm
Контактная информация:

Сообщение dubanov » Пн фев 20, 2006 12:39 pm

Рассмотрим 1 ур-е Вашей системы. Оно кубическое относительно cos(t). Приводится к стандартному виду x^3+a*x^2+b*x+c=0. И решаем методом Кардано. Я надеялся получить символьное решение, но безуспешно. Хотя численно решается на ура.