вычитание параметрически заданных площадей эллипсов

Форум для обсуждения вопросов математики

Модератор: Admin

Иван3652
Сообщения: 8
Зарегистрирован: Вс дек 06, 2015 9:42 pm

вычитание параметрически заданных площадей эллипсов

Сообщение Иван3652 » Вс дек 20, 2015 5:23 pm

Дано:
1. Два центра двух эллипсов (которые априори пересекаются).
2. Полуоси обоих эллипсов.
3. Как следствие площади обоих эллипсов.

Требуется вычислить: площадь получившейся фигуры (на рисунке выделена каштановым цветом).

П.С.: если есть такая функция в Maple, то подскажите какая (в мануале, гугле не нашел).

Каким образом можно посчитать получившуюся площадь ?
Изображение

Kitonum
Сообщения: 2050
Зарегистрирован: Ср дек 31, 2008 1:55 pm
Откуда: г. Пенза

Re: вычитание параметрически заданных площадей эллипсов

Сообщение Kitonum » Пн дек 21, 2015 7:20 am

Иван3652 писал(а):Дано:
1. Два центра двух эллипсов (которые априори пересекаются).
2. Полуоси обоих эллипсов.
...
Требуется вычислить: площадь получившейся фигуры (на рисунке выделена каштановым цветом).
...
Каким образом можно посчитать получившуюся площадь ?
Изображение

Помимо 1. и 2. должен быть ещё задан
3. Угол поворота большой оси второго (меньшего) эллипса относительно оси Ox.

План решения:

1) Находите параметрические уравнения обоих эллипсов, используя известные формулы для сдвига и поворота. Важно: параметры обозначайте разными буквами, например t и s .

2) С помощью Maple решаете систему из 4 уравнений с 4 неизвестными.

3) Итак, Вам известны значения параметров, соответствующих каждой вершине области и параметрические уравнения каждого звена. Далее для нахождения площади области можете использовать формулу Грина (подробности по ссылке https://en.wikipedia.org/wiki/Green%27s_theorem ), вычисляя криволинейный интеграл по границе области. Этот процесс автоматизирован в моей процедуре Area , которую найдёте по ссылке
http://www.mapleprimes.com/posts/145922-Perimeter-Area-And-Visualization-Of-A-Plane-Figure-

Иван3652
Сообщения: 8
Зарегистрирован: Вс дек 06, 2015 9:42 pm

вычитание параметрически заданных площадей эллипсов

Сообщение Иван3652 » Вт дек 22, 2015 11:09 pm

Огромное спасибо Kitonum за написанные процедуры и опр-ие последовательности действий. К сожалению, я запоролся на стадии задания уравнений. Прошу проверить, и в случае необходимости поправить.

Вот так я их задаю (1-ый эллипс наклонен на alpha градусов к оси ОХ).

В заранее благодарю всех откликнувшихся. Очень нужна ваша помощь!
Изображение

Kitonum
Сообщения: 2050
Зарегистрирован: Ср дек 31, 2008 1:55 pm
Откуда: г. Пенза

Re: вычитание параметрически заданных площадей эллипсов

Сообщение Kitonum » Ср дек 23, 2015 11:03 am

Иван3652 писал(а):... Прошу проверить, и в случае необходимости поправить.
Вот так я их задаю (1-ый эллипс наклонен на alpha градусов к оси ОХ).
...
Изображение


Теперь уже лучше, но ещё остались некоторые ошибки. Вместо x1 и x2 следует писать просто x, т.к. это переменная, то же самое для y. Все параметры лучше задать с самого начала. В одном месте указан не тот знак. Оба эллипса у Вас заданы с центром в начале координат. Я сделал сдвиги, чтобы рисунок примерно соответствовал исходному. Нашёл также координаты всех точек пересечения. Вам остаётся только, используя параметрические уравнения эллипсов и найденные значения t и s, найти площадь. Внимательно следите при этом чтобы контур фигуры проходился строго против часовой стрелки или по часовой стрелке.

restart;
a1, b1, a2, b2, alpha, x1, y1, x2, y2 := 6, 1, 8, 2, Pi/3, 11., 6.5, 9., 6.;
C1 := [x = a1*cos(t)*cos(alpha)-b1*sin(t)*sin(alpha)+x1, y = a1*cos(t)*sin(alpha)+b1*sin(t)*cos(alpha)+y1];
C2 := [x = a2*cos(s)+x2, y = b2*sin(s)+y2];
plot([[op(rhs~(C1)),t=0..2*Pi], [op(rhs~(C2)),s=0..2*Pi]], color=[blue,red], thickness=2, scaling=constrained, view=[-3.5..18.5,-3.5..12]);
solve({op(C1),op(C2)});


Изображение