Симметричные кортежи из простых чисел

Форум для обсуждения вопросов математики

Модератор: Admin

omega
Сообщения: 61
Зарегистрирован: Вт мар 06, 2012 11:04 am

Симметричные кортежи из простых чисел

Сообщение omega » Вт июл 21, 2015 11:21 am

На форуме dxdy.ru открыт проект распределённых вычислений
http://dxdy.ru/topic93581.html

Мы ищем симметричные кортежи из последовательных простых чисел.
Основные понятия о кортежах можно посмотреть в Википедии:
https://en.wikipedia.org/wiki/Prime_k-tuple

Вот одна из последних значимых находок участника проекта:

Код: Выделить всё

22930603692243271: 0 70 76 118 136 156 160 178 202 222 238 250 378 390 406 426 450 468 472 492 510 552 558 628

(это результат для последовательности в OEIS https://oeis.org/A081235; ещё не внесён)

Симметричность кортежа означает равенство сумм двух чисел кортежа, расположенных симметрично относительно центра кортежа.
В данном примере:

Код: Выделить всё

0 + 628 = 70 + 558 = … = 250 + 378


Приглашаю всех принять участие в этом проекте.
Программа поиска имеется. Но каждый может написать свою программу.

Ещё такой вопрос. Я проверяю кортежи в WolframAlpha.
Пример:

Select[Range[0,628],PrimeQ[22930603692243271+#]&]

Результат проверки:

Код: Выделить всё

{0, 70, 76, 118, 136, 156, 160, 178, 202, 222, 238, 250, 378, 390, 406, 426, 450, 468, 472, 492, 510, 552, 558, 628}

Можно ли написать скрипт для проверки кортежей?
Хочу организовать конкурс по этой проблеме. А для этого потребуется проверка решений в режиме онлайн.

Обсуждение задачи ведётся в теме
http://dxdy.ru/topic87170.html

Пожалуйста, задавайте ваши вопросы по проекту здесь или на форуме dxdy.ru

omega
Сообщения: 61
Зарегистрирован: Вт мар 06, 2012 11:04 am

Сообщение omega » Вс авг 09, 2015 1:30 pm

Это кортеж с минимальным диаметром d=34:

Код: Выделить всё

k=10
13: 0 4 6 10 16 18 24 28 30 34

Это известное решение с диаметром d=56:

Код: Выделить всё

k=12
137: 0 2 12 14 20 26 30 36 42 44 54 56


Является ли этот диаметр минимальным для k=12?
Напомню: рассматриваются симметричные кортежи из последовательных простых чисел.

По своей программе я нашла такие теоретически возможные паттерны для данного случая:

Код: Выделить всё

0  4  10  12  18  24  28  34  40  42  48  52
0  4  10  18  22  24  28  30  34  42  48  52
0  4  6  10  12  22  24  34  36  40  42  46

Однако ни одного реального кортежа по этим паттернам пока не нашла. Даже не знаю, существуют ли они в пророде :)
Например, для последнего паттерна с диаметром d=46 нашла такое неполное решение:

Код: Выделить всё

8101777  8101781  8101783  8101787  8101789  8101799  8101801  8101811  0  0  0  0


Интересное решение, вставить в конце три не простых числа, а последнее число будет простое:

Код: Выделить всё

8101777  8101781  8101783  8101787  8101789  8101799  8101801  8101811  8101813*  8101817*  8101819*  8101823

Соответствие паттерну полное, однако в кортеже есть три не простых числа (они помечены звёздочкой), как я говорю: три "дырки".

Предлагаю всем поискать решение этой задачки. Не очень сложная, но и не совсем простая.

omega
Сообщения: 61
Зарегистрирован: Вт мар 06, 2012 11:04 am

Сообщение omega » Вт авг 11, 2015 6:20 am

Ещё интереснее решение нашлось по этому паттерну:

Код: Выделить всё

0  4  10  18  22  24  28  30  34  42  48  52

В решении всего одно не простое число - 121:

Код: Выделить всё

79  83  89  97  101  103  107  109  113  121*  127  131

Решение с одной "дыркой" :)

Правильное решение будет такое:

Код: Выделить всё

79: {0, 4, 10, 18, 22, 24, 28, 30, 34, 48, 52, 58}

Но в этом решении диаметр равен 58, а нам надо найти решение с минимальным диаметром.
Пока известно решение с диаметром 56. Можно ли найти решение с меньшим диаметром?

omega
Сообщения: 61
Зарегистрирован: Вт мар 06, 2012 11:04 am

Сообщение omega » Ср авг 12, 2015 7:23 am

Из симметричных кортежей длины 16 (из последовательных простых чисел) мы составляем пандиагональные квадраты 4-го порядка из последовательных простых чисел.
Первый такой квадрат был найден Я. Врублевским:

Код: Выделить всё

320572022166380833 +
0   88  16  84
76 24  60 28
78 10  94 6
34 66 18  70

S = 1282288088665523520


Этому пандиагональному квадрату соответствует следующий кортеж:

Код: Выделить всё

320572022166380833: 0 6 10 16 18 24 28 34 60 66 70 76 78 84 88 94

Интересно: теоретически возможен ещё один пандиагональный квадрат с паттерном диаметра 94:

Код: Выделить всё

0 90 28 70
34 64 6 84
66 24 94 4
88 10 60 30

0 4 6 10 24 28 30 34 60 64 66 70 84 88 90 94

Но реальный кортеж с таким паттерном пока не найден.

Затем был найден квадрат с минимальной магической константой, автор решения М. Алексеев:

Код: Выделить всё

170693941183817 +
0 176 74 162
116 120 42 134
132 44 206 30
164 72 90 86

S=682775764735680

Этому пандиагональному квадрату соответствует следующий кортеж:

Код: Выделить всё

170693941183817: 0 30 42 44 72 74 86 90 116 120 132 134 162 164 176 206

Установлено, что теоретически возможен пандиагональный квадрат 4-го порядка из последовательных простых чисел с минимальным диаметром соответствующего паттерна равным 82:

Код: Выделить всё

0 72 28 64
40 52 12 60
54 18 82 10
70 22 42 30

0 10 12 18 22 28 30 40 42 52 54 60 64 70 72 82

Участники проекта уже нашли несколько тысяч симметричных кортежей длины 16 из последовательных простых чисел, но нет ни одного с таким паттерном.
Существует ли решение?
Последний раз редактировалось omega Ср авг 12, 2015 9:04 am, всего редактировалось 1 раз.

omega
Сообщения: 61
Зарегистрирован: Вт мар 06, 2012 11:04 am

Сообщение omega » Ср авг 12, 2015 9:00 am

Интересно: найдено очень много кортежей длины 16 (из последовательных простых чисел), имеющих диаметр 206.
Например, из найденных мной за последний месяц:

Код: Выделить всё

22930821590056277: 0 30 36 50 56 60 66 80 126 140 146 150 156 170 176 206
28000615911568037: 0 14 36 44 50 56 92 96 110 114 150 156 162 170 192 206
28053195755543807: 0 6 44 50 60 62 72 102 104 134 144 146 156 162 200 206
28054923902962007: 0 32 50 56 60 72 74 86 120 132 134 146 150 156 174 206
28102160953117967: 0 14 24 50 66 72 80 92 114 126 134 140 156 182 192 206
28164131332619207: 0 2 6 24 56 60 74 102 104 132 146 150 182 200 204 206
28181688013370117: 0 2 20 56 62 74 84 92 114 122 132 144 150 186 204 206
28241163315925397: 0 12 14 24 62 80 96 102 104 110 126 144 182 192 194 206
28276092588965027: 0 2 14 32 44 50 74 86 120 132 156 162 174 192 204 206
28303182928519427: 0 14 26 54 60 62 66 84 122 140 144 146 152 180 192 206
28315450165944497: 0 26 44 50 66 84 92 96 110 114 122 140 156 162 180 206
28320886499372837: 0 6 12 14 24 32 62 80 126 144 174 182 192 194 200 206

Потенциальных паттернов, из элементов которых составляется пандиагональный квадрат 4-го порядка, тоже много.
Например, несколько выданных моей программой:

Код: Выделить всё

0 2 30 32 42 44 72 74 132 134 162 164 174 176 204 206
0 6 14 20 30 36 44 50 156 162 170 176 186 192 200 206
0 6 14 20 36 42 50 56 150 156 164 170 186 192 200 206
0 6 14 20 60 66 74 80 126 132 140 146 186 192 200 206
0 6 14 20 66 72 80 86 120 126 134 140 186 192 200 206
0 6 20 26 54 60 74 80 126 132 146 152 180 186 200 206
0 6 24 30 36 42 60 66 140 146 164 170 176 182 200 206
0 6 24 30 50 56 74 80 126 132 150 156 176 182 200 206
0 6 24 30 56 62 80 86 120 126 144 150 176 182 200 206
0 6 24 30 60 66 84 90 116 122 140 146 176 182 200 206

Программа находит все потенциальные паттерны.
Однако пандиагональный квадрат 4-го порядка с паттерном, имеющим диаметр 206, найден всего один, он показан в предыдущем посте.

omega
Сообщения: 61
Зарегистрирован: Вт мар 06, 2012 11:04 am

Сообщение omega » Чт авг 13, 2015 11:51 am

omega писал(а):Участники проекта уже нашли несколько тысяч симметричных кортежей длины 16 из последовательных простых чисел, но нет ни одного с таким паттерном.
Существует ли решение?

Да, участники проекта такие кортежи не нашли.
Но, оказалось, что они давно найдены Я. Врублевским:

Код: Выделить всё

78830573871633653539: 0 10 12 18 22 28 30 40 42 52 54 60 64 70 72 82
94505039351105832919: 0 10 12 18 22 28 30 40 42 52 54 60 64 70 72 82
110732011215202177249: 0 10 12 18 22 28 30 40 42 52 54 60 64 70 72 82

Участники проекта ещё не дошли до таких больших чисел :)

Смотрите сообщение Я. Врублевского на форуме:
http://dxdy.ru/post751870.html#p751870

Просто я забыла об этих решениях, два года назад о них сообщалось :?

omega
Сообщения: 61
Зарегистрирован: Вт мар 06, 2012 11:04 am

Сообщение omega » Чт авг 13, 2015 2:19 pm

Ожидается конкурс по этой проблеме.

Пока конкурс официально не стартовал, но мой коллега Stefano Tognon, на сайте которого будет проводиться конкурс, уже опубликовал описание конкурса
http://primesmagicgames.altervista.org/ ... 7109375000

Просьба ко всем: посмотреть описание и задать вопросы, если что-то непонятно.

Коллега сейчас занимается подготовкой программного обеспечения конкурса. Это требует некоторого времени, возможно, недели две.

omega
Сообщения: 61
Зарегистрирован: Вт мар 06, 2012 11:04 am

Сообщение omega » Сб авг 15, 2015 12:50 pm

Ещё раз о поиске кортежа по заданному паттерну.
Пусть мы хотим найти кортеж по такому паттерну:

Код: Выделить всё

0  4  6  10  12  22  24  34  36  40  42  46

Нашлись две формулы для первого элемента кортежа, соответствующего данному паттерну:

Код: Выделить всё

1447+2310n
817+2310n

Далее можно попробовать поиск в Wolfram Alpha вот по такой команде, например:

Код: Выделить всё

matrix(table[Select[Range[0,150],PrimeQ[(n*2310+1447)+#]&],{n,900,908}])

Выдаётся следующий результат:

Код: Выделить всё

n |
900 | {0, 4, 6, 54, 84, 94, 96, 120, 124, 130, 144, 150}
901 | {0, 22, 36, 46, 70, 76, 94, 96, 106, 112, 130, 132, 136, 150}
902 | {10, 22, 54, 64, 66, 76, 84, 124, 130, 150}
903 | {0, 4, 6, 10, 12, 22, 42, 66, 76, 84, 90, 106, 112, 120}
904 | {6, 10, 40, 64, 94, 120, 144}
905 | {0, 22, 24, 42, 46, 52, 76, 96, 102, 136}
906 | {10, 24, 34, 36, 52, 54, 66, 70, 106, 132}
907 | {4, 12, 22, 64, 70, 76, 96, 120, 124, 144}
908 | {0, 4, 10, 34, 54, 90, 94, 106, 132}

Есть один результат немного соответствующий искомому:

Код: Выделить всё

903 | {0, 4, 6, 10, 12, 22, 42, 66, 76, 84, 90, 106, 112, 120}

Понятно, что вручную так играться можно до бесконечности и ничего не найти.

Вопрос
можно ли написать скрипт для поиска подобным способом? Ну, если не в Wolfram Alpha, то, может быть, в Mathematica.

omega
Сообщения: 61
Зарегистрирован: Вт мар 06, 2012 11:04 am

Сообщение omega » Чт сен 10, 2015 4:40 pm

Сегодня начался конкурс по проблеме симметричных кортежей из последовательных простых чисел

K-Tuples of Primes
http://primesmagicgames.altervista.org/wp/competitions/

Приглашаю всех форумчан и гостей форума принять участие в конкурсе!
Конкурс продлится до 31 декабря текущего года.

По указанной ссылке вы найдёте подробное описание конкурсной задачи, она состоит из трёх подзадач.
Если возникнут вопросы, задавайте, пожалуйста.

omega
Сообщения: 61
Зарегистрирован: Вт мар 06, 2012 11:04 am

Сообщение omega » Пн сен 14, 2015 1:20 pm

На форуме dxdy.ru создала тему для обсуждения конкурса
http://dxdy.ru/topic100750.html

Приходите, читайте, комментируйте.

Конкурс идёт потихоньку.
Участник пока один (ну, кроме меня :) ).
Зато какой участник! Это ас в кортежах, Ярослав Врублевский.
Кто рискнёт с ним посоревноваться? :wink:

omega
Сообщения: 61
Зарегистрирован: Вт мар 06, 2012 11:04 am

Сообщение omega » Вс янв 10, 2016 9:22 am

Конкурс по симметричным кортежам из последовательных простых чисел закончился.
Ярослав Врублевский так и остался единственным участником конкурса и стал победителем.
Найдены уникальные решения ещё неизвестные в мире.
Покажу самые интересные решения, это симметричные кортежи из последовательных простых чисел с минимальными диаметрами:

Код: Выделить всё

k=15 (minimal)
3112462738414697093: 0, 6, 24, 30, 54, 66, 84, 90, 96, 114, 126, 150, 156, 174, 180

k=17 (minimal)
258406392900394343851: 0, 12, 30, 42, 60, 72, 78, 102, 120, 138, 162, 168, 180, 198, 210, 228, 240

k=18 (not minimal p ?)
824871967574850703732309: 0, 4, 10, 12, 18, 22, 28, 30, 40, 42, 52, 54, 60, 64, 70, 72, 78, 82

k=20 (not minimal p ?)
824871967574850703732303: 0, 6, 10, 16, 18, 24, 28, 34, 36, 46, 48, 58, 60, 66, 70, 76, 78, 84, 88, 94


Макс Алексеев (редактор OEIS) уже создал две последовательности с этими уникальными результатами:
https://oeis.org/A266511
https://oeis.org/A266512

Решения опубликованы и на страничке сайта primepuzzles.net
http://www.primepuzzles.net/problems/prob_062.htm

omega11
Сообщения: 1
Зарегистрирован: Чт мар 09, 2017 12:14 pm

Re: Симметричные кортежи из простых чисел

Сообщение omega11 » Чт мар 09, 2017 12:21 pm

Здравствуйте!

Я прошу прощения, но система не дала мне войти под прежним ником, хотя пароль я помню (да и он у меня записан).
Обращалась к администрации, но что-то после первого ответа всё заглохло.
Пришлось зарегистрироваться снова.
В общем, я автор данной темы и мой прежний ник - omega.

Хочу сообщить интересную новость.
Мой "ручной" проект "Симметричные кортежи из последовательных простых чисел" запущен коллегой на BOINC.
Адрес проекта
http://stop.inferia.ru

На мой взгляд, интересные вычисления на этой платформе.
Может, найдутся среди форумчан желающие присоединиться к проекту.