Помогите взять интеграл.

Форум для обсуждения вопросов математики

Модератор: Admin

Gickle
Сообщения: 9
Зарегистрирован: Вт май 05, 2015 1:55 am

Помогите взять интеграл.

Сообщение Gickle » Вт май 05, 2015 4:21 pm

День добрый. Возникла необходимость взять интеграл следующего вида (см. изображения).

Изображение
Изображение

Тут, кроме того, изложен ход моих мыслей. В общем-то, принципиально задача сводится к взятию интеграла вида exp[i*(a*x + b(y)]/[x^2 + y^2 + z^2]^(3/2) в пределах по x и y (-inf,+inf). Как мне показалось, самый простой способ - взять сначала интеграл по x, рассмотреть для этого аналитическое продолжение функции, получим exp(i*a*z)*f(z), где f(z) удовлетворяет условиям леммы Жордана. Тогда интеграл есть просто сумма вычетов в верхней полуплоскости (в данном случае только одна точка) на 2*i*pi. Проблема в вычислении вычета в этой точке, поскольку это, вообще говоря, не полюс, а существенно особая точка (если я не ошибаюсь). То есть надо разложить функцию в этой окрестности в ряд Лорана и посмотреть коэффициент перед минус первой степенью. Но у меня что-то не выходит разложить её в ряд Лорана в окрестности этой точки. Может, чего-нибудь подскажете?
P.S. Была ещё мысль продифференцировать изначально пару раз по параметру и получить какое-нибудь уравнение, но ничего путного не вышло. Пытался и по частям к чему-нибудь хорошему привести - безрезультатно. Ни в Шабате, ни в Свешникове, ни в Фихтенгольце подобных примеров не нашёл (может, конечно, искал плохо, но вроде нет).
P.P.S. Принципиально, чтобы всё делалось, что называется, "вручную", то есть без использования каких бы то ни было математических пакетов.

Заранее спасибо.