Способы нахождения точек пересечения трёх гиперболоидов

Форум для обсуждения вопросов математики

Модератор: Admin

Kaspar20
Сообщения: 10
Зарегистрирован: Вт апр 15, 2014 8:43 am

Способы нахождения точек пересечения трёх гиперболоидов

Сообщение Kaspar20 » Чт апр 17, 2014 9:14 am

Всем добрый день! Меня зовут Александр. Я не очень хорошо владею математикой, но надеюсь моих знаний хватит, чтобы правильно сформулировать вопрос. Имеется система из 3-х нелинейных уравнений с 3-мя неизвестными X, Y и Z. Каждое уравнение является уравнением гиперболоида. Необходимо найти все решения в пространстве, ограниченном параллелепипедом.
[img]http://s003.radikal.ru/i202/1404/ad/d68aa5a2b132.png
[/img]
И несколько вопросов:
1. В моём понимании у этой системы уравнений чаще всего будет два решения. Пересечением 2-х гиперболоидов является кривая линия, а третий гиперболоид будет пересекать эту кривую линию в 2-х точках. Это наиболее распространённый вариант. Также возможны варианты, что система не имеет решения, имеет одно решение и множество решений. Прав ли я? Есть ли какой нибудь способ определения количества решений? Если всё же я окажусь прав, то на практике там, где будет использоваться решение системы уравнений (сейсмология), практически всегда будет 1, 2 или 0 решений.
2. Возможно ли решить данную систему уравнений аналитическим способом?
3. Подскажите наиболее оптимальный способ решения данной системы уравнений численными методами. Необходим метод, обеспечивающий нахождение решений в минимальные по времени сроки с заданной точностью.
4. В каких программах можно решить данную систему уравнений?

PS: Буду очень благодарен за любую информацию. Заранее извиняюсь, если некорректно сформулировал свои вопросы.
Изображение

Markiyan Hirnyk
Сообщения: 1366
Зарегистрирован: Вс дек 04, 2011 11:07 pm

Текст

Сообщение Markiyan Hirnyk » Чт апр 17, 2014 11:53 am

Пожалуйста, запишите канонические уравнения гиперболоидов как текст (X-X[1])^2+.... . У меня есть некоторые идеи относительно Ваших вопросов, хотел бы поэксперементировать, а набирать уравнения не хочется и нет времени.

Kaspar20
Сообщения: 10
Зарегистрирован: Вт апр 15, 2014 8:43 am

Re: Текст

Сообщение Kaspar20 » Чт апр 17, 2014 12:01 pm

Markiyan Hirnyk писал(а):Пожалуйста, запишите канонические уравнения гиперболоидов как текст (X-X[1])^2+.... . У меня есть некоторые идеи относительно Ваших вопросов, хотел бы поэксперементировать, а набирать уравнения не хочется и нет времени.


((X-X[2])^2+(Y-Y[2])^2+(Z-Z[2])^2)^0,5-((X-X[1])^2+(Y-Y[1])^2+(Z-Z[1])^2)^0,5=A[12]
((X-X[4])^2+(Y-Y[4])^2+(Z-Z[4])^2)^0,5-((X-X[3])^2+(Y-Y[3])^2+(Z-Z[3])^2)^0,5=A[34]
((X-X[6])^2+(Y-Y[6])^2+(Z-Z[6])^2)^0,5-((X-X[5])^2+(Y-Y[5])^2+(Z-Z[5])^2)^0,5=A[56]

Markiyan Hirnyk
Сообщения: 1366
Зарегистрирован: Вс дек 04, 2011 11:07 pm

Сообщение Markiyan Hirnyk » Чт апр 17, 2014 12:17 pm

Увы, это не канонические уравнения гиперболоидов (см. http://webmath.exponenta.ru/s/pyartli1/node35.htm ). Дело в том, что системы полиномиальных уравнений проще в работе, чем системы иррациональных уравнений. Моя просьба не является прихотью.

Kaspar20
Сообщения: 10
Зарегистрирован: Вт апр 15, 2014 8:43 am

Сообщение Kaspar20 » Чт апр 17, 2014 12:28 pm

Markiyan Hirnyk писал(а):Увы, это не канонические уравнения гиперболоидов (см. http://webmath.exponenta.ru/s/pyartli1/node35.htm ). Дело в том, что системы полиномиальных уравнений проще в работе, чем системы иррациональных уравнений. Моя просьба не является прихотью.


Избавиться от иррациональности возможно, но привести к каноническому виду не получится. Возможно я ошибся, назвав уравнение - уравнением гиперболоида. Возможно, данная поверхность имеет другое название.

Markiyan Hirnyk
Сообщения: 1366
Зарегистрирован: Вс дек 04, 2011 11:07 pm

Сообщение Markiyan Hirnyk » Чт апр 17, 2014 12:56 pm

Запишите хотя бы полиномиальные уравнения. Дело не в названии. Что значит имя? Роза пахнет розой, хоть розой назови ее, хоть нет.

Kaspar20
Сообщения: 10
Зарегистрирован: Вт апр 15, 2014 8:43 am

Сообщение Kaspar20 » Чт апр 17, 2014 2:22 pm

Markiyan Hirnyk писал(а):Запишите хотя бы полиномиальные уравнения. Дело не в названии. Что значит имя? Роза пахнет розой, хоть розой назови ее, хоть нет.


Очень долго выражал. Делал замены переменных. В общем виде уравнение гиперболоида будет выглядеть так:
A(X^2)+B(Y^2)+C(Z^2)+D(XY)+E(XZ)+F(YZ)+G(X)+H(Y)+I(Z)+J=0

Система уравнений выглядит так:
A[1](X^2)+B[1](Y^2)+C[1](Z^2)+D[1](XY)+E[1](XZ)+F[1](YZ)+G[1](X)+H[1](Y)+I[1](Z)+J[1]=0
A[2](X^2)+B[2](Y^2)+C[2](Z^2)+D[2](XY)+E[2](XZ)+F[2](YZ)+G[2](X)+H[2](Y)+I[2](Z)+J[2]=0
A[3](X^2)+B[3](Y^2)+C[3](Z^2)+D[3](XY)+E[3](XZ)+F[3](YZ)+G[3](X)+H[3](Y)+I[3](Z)+J[3]=0

Надеюсь, что при преобразовании нигде не ошибся, но в принципе получилось очень даже похоже на правду. В следующем посте напишу о том, чему равны константы A[i], B[i], C[i]...

Markiyan Hirnyk
Сообщения: 1366
Зарегистрирован: Вс дек 04, 2011 11:07 pm

Сообщение Markiyan Hirnyk » Чт апр 17, 2014 2:45 pm

Это не соответствует действительности. Вами записаны общие уравнения трех поверхностей второго порядка, а не уравнения Ваших гиперболоидов в полиномиальной форме. Уравнения гиперболоидов имеют специальный вид.

Kaspar20
Сообщения: 10
Зарегистрирован: Вт апр 15, 2014 8:43 am

Сообщение Kaspar20 » Чт апр 17, 2014 2:55 pm

В следующем посте напишу о том, чему равны константы A[i], B[i], C[i]...


Уравнение вида:
((X-X[j])^2+(Y-Y[j])^2+(Z-Z[j])^2)^0,5-((X-X[i])^2+(Y-Y[i)^2+(Z-Z[i])^2)^0,5=A[ij]
преобразуем в уравнение вида
A[i](X^2)+B[i](Y^2)+C[i](Z^2)+D[i](XY)+E[i](XZ)+F[i](YZ)+G[i](X)+H[i](Y)+I[i](Z)+J[i]=0,
где
A[i]=4(X[i])^2+4(X[j])^2-8(X[i]X[j])-4(A[ij])^2
B[i]=4(Y[i])^2+4(Y[j])^2-8(Y[i]Y[j])-4(A[ij])^2
C[i]=4(Z[i])^2+4(Z[j])^2-8(Z[i]Z[j])-4(A[ij])^2
D[i]=8(X[i]Y[i])-8(X[i]Y[j])-8(X[j]Y[i])+8(X[j]Y[j])
E[i]=8(X[i]Z[i])-8(X[i]Z[j])-8(X[j]Z[i])+8(X[j]Z[j])
F[i]=8(Y[i]Z[i])-8(Y[i]Z[j])-8(Y[j]Z[i])+8(Y[j]Z[j])
G[i]=2K[ij](X[i])-2K[ij](X[j])
H[i]=2K[ij](Y[i])-2K[ij](Y[j])
I[i]=2K[ij](Z[i])-2K[ij](Z[j])
J[i]=(K[ij])^2, где
K[ij]=(X[j])^2-(X[i])^2+(Y[j])^2-(Y[i])^2+(Z[j])^2-(Z[i])^2+A[ij]^2

В общем, как-то так... Некоторые переменные заключены в лишние скобки, при желании можно убрать. Ну и с i и j нужно не запутаться.

Kaspar20
Сообщения: 10
Зарегистрирован: Вт апр 15, 2014 8:43 am

Сообщение Kaspar20 » Чт апр 17, 2014 2:59 pm

Markiyan Hirnyk писал(а):Это не соответствует действительности. Вами записаны общие уравнения трех поверхностей второго порядка, а не уравнения Ваших гиперболоидов в полиномиальной форме. Уравнения гиперболоидов имеют специальный вид.


Написал то, что получилось после избавления от иррациональности. Ну похоже, я всё-таки был прав, сказав, что это нельзя назвать гиперболоидом. На этом всё? :) Выразил-то всё правильно. С данной системой уравнений что-нибудь можно сделать?

Markiyan Hirnyk
Сообщения: 1366
Зарегистрирован: Вс дек 04, 2011 11:07 pm

Сообщение Markiyan Hirnyk » Чт апр 17, 2014 3:03 pm

Неудачные обозначения, с которыми невозможно работать. Например, в
A[i]=4(X[i])^2+4(X[j])^2-8(X[i]X[j])-4(A[ij])^2
правая часть зависит от j, левая - нет.
Начните сначала.

Kaspar20
Сообщения: 10
Зарегистрирован: Вт апр 15, 2014 8:43 am

Сообщение Kaspar20 » Чт апр 17, 2014 3:20 pm

Markiyan Hirnyk писал(а):Неудачные обозначения, с которыми невозможно работать. Например, в
A[i]=4(X[i])^2+4(X[j])^2-8(X[i]X[j])-4(A[ij])^2
правая часть зависит от j, левая - нет.
Начните сначала.


Исходные уравнения: те, что были в начале темы (прим. A заменил на L)

((X-X[2])^2+(Y-Y[2])^2+(Z-Z[2])^2)^0,5-((X-X[1])^2+(Y-Y[1])^2+(Z-Z[1])^2)^0,5=L[12]
((X-X[4])^2+(Y-Y[4])^2+(Z-Z[4])^2)^0,5-((X-X[3])^2+(Y-Y[3])^2+(Z-Z[3])^2)^0,5=L[34]
((X-X[6])^2+(Y-Y[6])^2+(Z-Z[6])^2)^0,5-((X-X[5])^2+(Y-Y[5])^2+(Z-Z[5])^2)^0,5=L[56]

Преобразовал в полиномиальный вид:

Уравнение в общем виде:
A[ij](X^2)+B[ij](Y^2)+C[ij](Z^2)+D[ij](XY)+E[ij](XZ)+F[ij](YZ)+G[ij](X)+H[ij](Y)+I[ij](Z)+J[ij]=0,
где
A[ij]=4(X[i])^2+4(X[j])^2-8(X[i]X[j])-4(L[ij])^2
B[ij]=4(Y[i])^2+4(Y[j])^2-8(Y[i]Y[j])-4(L[ij])^2
C[ij]=4(Z[i])^2+4(Z[j])^2-8(Z[i]Z[j])-4(L[ij])^2
D[ij]=8(X[i]Y[i])-8(X[i]Y[j])-8(X[j]Y[i])+8(X[j]Y[j])
E[ij]=8(X[i]Z[i])-8(X[i]Z[j])-8(X[j]Z[i])+8(X[j]Z[j])
F[ij]=8(Y[i]Z[i])-8(Y[i]Z[j])-8(Y[j]Z[i])+8(Y[j]Z[j])
G[ij]=2K[ij](X[i])-2K[ij](X[j])
H[ij]=2K[ij](Y[i])-2K[ij](Y[j])
I[ij]=2K[ij](Z[i])-2K[ij](Z[j])
J[ij]=(K[ij])^2, где
K[ij]=(X[j])^2-(X[i])^2+(Y[j])^2-(Y[i])^2+(Z[j])^2-(Z[i])^2+L[ij]^2

Система уравнений ,будет выглядеть так:
A[12](X^2)+B[12](Y^2)+C[12](Z^2)+D[12](XY)+E[12](XZ)+F[12](YZ)+G[12](X)+H[12](Y)+I[12](Z)+J[12]=0
A[34](X^2)+B[34](Y^2)+C[34](Z^2)+D[34](XY)+E[34](XZ)+F[34](YZ)+G[34](X)+H[34](Y)+I[34](Z)+J[34]=0
A[56](X^2)+B[56](Y^2)+C[56](Z^2)+D[56](XY)+E[56](XZ)+F[56](YZ)+G[56](X)+H[56](Y)+I[56](Z)+J[56]=0,

где
A[12]=4(X[1])^2+4(X[2])^2-8(X[1]X[2])-4(L[12])^2
B[12]=4(Y[1])^2+4(Y[2])^2-8(Y[1]Y[2])-4(L[12])^2
C[12]=4(Z[1])^2+4(Z[2])^2-8(Z[1]Z[2])-4(L[12])^2
D[12]=8(X[1]Y[1])-8(X[1]Y[2])-8(X[2]Y[1])+8(X[2]Y[2])
E[12]=8(X[1]Z[1])-8(X[1]Z[2])-8(X[2]Z[1])+8(X[2]Z[2])
F[12]=8(Y[1]Z[1])-8(Y[1]Z[2])-8(Y[2]Z[1])+8(Y[2]Z[2])
G[12]=2K[12](X[1])-2K[12](X[2])
H[12]=2K[12](Y[1])-2K[12](Y[2])
I[12]=2K[12](Z[1])-2K[12](Z[2])
J[12]=(K[12])^2, где
K[12]=(X[2])^2-(X[1])^2+(Y[2])^2-(Y[1])^2+(Z[2])^2-(Z[1])^2+L[12]^2
A[34]=4(X[3])^2+4(X[4])^2-8(X[3]X[4])-4(L[34])^2
B[34]=4(Y[3])^2+4(Y[4])^2-8(Y[3]Y[4])-4(L[34])^2
C[34]=4(Z[3])^2+4(Z[4])^2-8(Z[3]Z[4])-4(L[34])^2
D[34]=8(X[3]Y[3])-8(X[3]Y[4])-8(X[4]Y[3])+8(X[4]Y[4])
E[34]=8(X[3]Z[3])-8(X[3]Z[4])-8(X[4]Z[3])+8(X[4]Z[4])
F[34]=8(Y[3]Z[3])-8(Y[3]Z[4])-8(Y[4]Z[3])+8(Y[4]Z[4])
G[34]=2K[34](X[3])-2K[34](X[4])
H[34]=2K[34](Y[3])-2K[34](Y[4])
I[34]=2K[34](Z[3])-2K[34](Z[4])
J[34]=(K[34])^2, где
K[34]=(X[4])^2-(X[3])^2+(Y[4])^2-(Y[3])^2+(Z[4])^2-(Z[3])^2+L[34]^2
A[56]=4(X[5])^2+4(X[6])^2-8(X[5]X[6])-4(L[56])^2
B[56]=4(Y[5])^2+4(Y[6])^2-8(Y[5]Y[6])-4(L[56])^2
C[56]=4(Z[5])^2+4(Z[6])^2-8(Z[5]Z[6])-4(L[56])^2
D[56]=8(X[5]Y[5])-8(X[5]Y[6])-8(X[6]Y[5])+8(X[6]Y[6])
E[56]=8(X[5]Z[5])-8(X[5]Z[6])-8(X[6]Z[5])+8(X[6]Z[6])
F[56]=8(Y[5]Z[5])-8(Y[5]Z[6])-8(Y[6]Z[5])+8(Y[6]Z[6])
G[56]=2K[56](X[5])-2K[56](X[6])
H[56]=2K[56](Y[5])-2K[56](Y[6])
I[56]=2K[56](Z[5])-2K[56](Z[6])
J[56]=(K[56])^2, где
K[56]=(X[6])^2-(X[5])^2+(Y[6])^2-(Y[5])^2+(Z[6])^2-(Z[5])^2+L[56]^2


В принципе, чтобы не запутаться, задачу можете решать используя только уравнения, выделенные красным цветом:

Markiyan Hirnyk
Сообщения: 1366
Зарегистрирован: Вс дек 04, 2011 11:07 pm

Сообщение Markiyan Hirnyk » Чт апр 17, 2014 3:48 pm

Величины L[i,j] не определены в терминах X[1],..,X[6],Y[1],...,Y[6],Z[1],...,Z[6].

Kaspar20
Сообщения: 10
Зарегистрирован: Вт апр 15, 2014 8:43 am

Сообщение Kaspar20 » Чт апр 17, 2014 3:54 pm

Markiyan Hirnyk писал(а):Величины L[i,j] не определены в терминах X[1],..,X[6],Y[1],...,Y[6],Z[1],...,Z[6].


X, Y, Z - неизвестные величины (координаты точки(ек) пересечения гиперболоидов)
Всё остальное - это константы.

Kaspar20
Сообщения: 10
Зарегистрирован: Вт апр 15, 2014 8:43 am

Сообщение Kaspar20 » Чт апр 17, 2014 3:57 pm

Markiyan Hirnyk писал(а):Величины L[i,j] не определены в терминах X[1],..,X[6],Y[1],...,Y[6],Z[1],...,Z[6].


Если бы я создавал тему прямо сейчас, то попросил бы решить вот эту систему уравнений:
A[12](X^2)+B[12](Y^2)+C[12](Z^2)+D[12](XY)+E[12](XZ)+F[12](YZ)+G[12](X)+H[12](Y)+I[12](Z)+J[12]=0
A[34](X^2)+B[34](Y^2)+C[34](Z^2)+D[34](XY)+E[34](XZ)+F[34](YZ)+G[34](X)+H[34](Y)+I[34](Z)+J[34]=0
A[56](X^2)+B[56](Y^2)+C[56](Z^2)+D[56](XY)+E[56](XZ)+F[56](YZ)+G[56](X)+H[56](Y)+I[56](Z)+J[56]=0

X, Y, Z - неизвестны. Всё остальное - константы.