Дифференциальные уравнения в частных производных,метод сеток

Форум для обсуждения вопросов математики

Модератор: Admin

Makeda
Сообщения: 3
Зарегистрирован: Сб авг 24, 2013 7:25 pm

Дифференциальные уравнения в частных производных,метод сеток

Сообщение Makeda » Сб авг 24, 2013 8:23 pm

Разбираюсь с дифференциальными уравнениями,изучаю метод сеток. Нашел вот тут http://www.youtube.com/watch?v=klLxPvS2LGg. Довольно таки толковое видео, где объясняется суть метода. С переходом от частной производной d u(x,t)/dt к ее разностному аналогу по этому методу я разобрался. Это вытекает из определения самой производной. Если первый аргумент взять как xi и рассматривать как константу, поскольку дифференцируем по t, плюс весь участок времени T разбить на N отрезков, получим: (uj+1 - uj) / (T/N), где индекс j обозначает конкретную точку на оси времени. Как быть со второй частью диф. уравнения d^2 u(x,t) / d x^2. В видео примере, сказано что берем три точки xi-1, xi+1, xi. Почему так. Я не могу это понять с точки зрения определения производной.

Спасибо за ответы.

алексей_алексей
Сообщения: 1776
Зарегистрирован: Вс май 01, 2005 9:02 pm

Re:

Сообщение алексей_алексей » Вс авг 25, 2013 3:53 pm

Если Вы понимаете дискретизацию выражения с точки зрения определения производной, то произведите все действия последовательно своими руками, и истинное понимание посетит Вас …

Makeda
Сообщения: 3
Зарегистрирован: Сб авг 24, 2013 7:25 pm

Сообщение Makeda » Вс авг 25, 2013 8:18 pm

Я производил такие действия с точки зрения функции одной переменной в точке х0. К примеру есть некая функция f(x) на плоскости X Y. Берем точку на оси Х, предаем ей приращение и получаем точку x1. Значит производная будет равна пределу при х1 стремящимуся к х0, отношения приращения функции к приращению аргумента: f(x1) - f(x0) / x1-x0. Это понятно, можно понять и графическое определение производной, увидеть это в координатах. Как быть если дифференцирование происходит х^2. Может тут нужно брать две точки, с разных сторон как бы, х1-х0 и х0-х2. Приращение двух этих точек должно быть равным? А что дает на это с точки зрения физики и графиков. Выходит мы говорим о скорости двух точек?

алексей_алексей
Сообщения: 1776
Зарегистрирован: Вс май 01, 2005 9:02 pm

Сообщение алексей_алексей » Пн авг 26, 2013 2:37 pm

Обратите внимание, что речь идёт о второй производной по x. То есть, Вы берёте первую производную от первой производной, а какой вид имеет приближение первой производной? Вот отсюда и получаются три точки. И нет там никакого дифференцирования по x^2, это получается в результате выкладок после перемножения двух шагов. И сетка равномерная по обеим переменным…
Если хотите лучше разобраться в сущности производных, в смысле, без формального наноса последних трех веков, то почитайте первоисточники. Это же применяется очень давно, и возникло из практических соображений. А то можно подумать, автор каждой современной книги дошёл до всего сам и теперь несёт откровение остальным. Нет, настоящих было очень мало, и надо стараться подпитываться от них…

Makeda
Сообщения: 3
Зарегистрирован: Сб авг 24, 2013 7:25 pm

Сообщение Makeda » Пн авг 26, 2013 8:07 pm

Почему о второй ... выходит я не правильно понял запись d^2 u(x,t) / d x^2. Это равно второй производной по функции u(x,t). Я просто больше привык к виду с двумя штрихами. Можете порекомендовать такие источники?

Благодарю.

Markiyan Hirnyk
Сообщения: 1366
Зарегистрирован: Вс дек 04, 2011 11:07 pm

Сообщение Markiyan Hirnyk » Пн авг 26, 2013 8:15 pm

алексей_алексей писал(а):Если хотите лучше разобраться в сущности производных, в смысле, без формального наноса последних трех веков, то почитайте первоисточники. Это же применяется очень давно, и возникло из практических соображений. А то можно подумать, автор каждой современной книги дошёл до всего сам и теперь несёт откровение остальным. Нет, настоящих было очень мало, и надо стараться подпитываться от них…
Алексей Борисович! Ответьте, пожалуйста, Вы читали "Введение в анализ бесконечно малых" Л. Эйлера?