Найти границу области значений

Форум для обсуждения вопросов математики

Модератор: Admin

Yfed
Сообщения: 4
Зарегистрирован: Ср июл 03, 2013 7:56 pm

Найти границу области значений

Сообщение Yfed » Ср июл 03, 2013 9:03 pm

Есть две переменные x, y. Могут принимать значения от -1 до 1 (рисунок слева). Есть две нелинейные функции F1(x,y), F2(x,y). Если всем точкам (x,y) сопоставить значения функций F1 и F2, получится область на рисунке справа. Меня интересует граница этой области (изображена красным цветом). Как ее найти?
Если делать в лоб и перебирать все возможные значения (x,y) с определенным шагом, то расчет занимает очень много времени.
Наверное задача решается элементарно, но мне так и не удалось нагуглить нужную информацию.
Изображение

Kitonum
Сообщения: 2084
Зарегистрирован: Ср дек 31, 2008 1:55 pm
Откуда: г. Пенза

Сообщение Kitonum » Чт июл 04, 2013 6:58 am

Решение очевидно (общий случай). Пусть для исходной фигуры вся граница или её часть задана параметрическими уравнениями x=phi(t), y=psi(t) . Тогда её образ при отображении x'=F1(x,y), y'=F2(x,y) будет задаваться уравнениями x'=F1(phi(t),psi(t)), y'=F2(phi(t),psi(t))

Пример в Maple для Вашего случая:

B[1], B[2], B[3], B[4] := [1, t, t = -1 .. 1], [t, 1, t = 1 .. -1], [-1, t, t = 1 .. -1], [t, -1, t = -1 .. 1]:
F1, F2 := 3*x+2*y^2, x^2+exp(y)-1:
plot([seq(B[i], i = 1 .. 4)], thickness = 3, color = [red, blue, green, yellow]);
plot([seq([subs(x = B[i][1], y = B[i][2], F1), subs(x = B[i][1], y = B[i][2], F2), B[i][3]], i = 1 .. 4)], thickness = 3, color = [red, blue, green, yellow]);

Изображение

Yfed
Сообщения: 4
Зарегистрирован: Ср июл 03, 2013 7:56 pm

Сообщение Yfed » Чт июл 04, 2013 8:36 am

Kitonum, спасибо за ответ
Но проблема в том, что у меня граница второй области не является непосредственным отображением границы исходной области. Как быть в этом случае?

Kitonum
Сообщения: 2084
Зарегистрирован: Ср дек 31, 2008 1:55 pm
Откуда: г. Пенза

Сообщение Kitonum » Чт июл 04, 2013 1:35 pm

Yfed писал(а):Kitonum, спасибо за ответ
Но проблема в том, что у меня граница второй области не является непосредственным отображением границы исходной области. Как быть в этом случае?

Если отображение непрерывно, то такого не может быть! Для произвольных отображений может быть всё что угодно, поэтому надо смотреть конкретно.Так что давайте своё отображение!

Yfed
Сообщения: 4
Зарегистрирован: Ср июл 03, 2013 7:56 pm

Сообщение Yfed » Чт июл 04, 2013 3:05 pm

Да, отображение не является непрерывным.
Во вложении моя задача (Mathcad). Имеется n-мерная нелинейная система, состояние которой описывается параметрами epsilon_1 и epsilon_2. Величины M_sum и N_sum - искомые интегральные характеристики системы. Нужно найти границу области значений M_sum и N_sum с наименьшими затратами машинного времени.

Kitonum
Сообщения: 2084
Зарегистрирован: Ср дек 31, 2008 1:55 pm
Откуда: г. Пенза

Сообщение Kitonum » Сб июл 06, 2013 11:51 pm

Yfed писал(а):Да, отображение не является непрерывным.
Во вложении моя задача (Mathcad). Имеется n-мерная нелинейная система, состояние которой описывается параметрами epsilon_1 и epsilon_2. Величины M_sum и N_sum - искомые интегральные характеристики системы. Нужно найти границу области значений M_sum и N_sum с наименьшими затратами машинного времени.

У меня Ваш файл не открывается, ввиду отсутствия маткада.
Т.к. Вы выступаете на форуме по общим вопросам математики, а не на форуме по маткаду, то и задачу следует формулировать в обще-математических терминах.

Vladimir__
Сообщения: 1660
Зарегистрирован: Вс дек 21, 2003 8:52 am

Сообщение Vladimir__ » Вс июл 07, 2013 4:44 pm

Kitonum писал(а):
Yfed писал(а):Да, отображение не является непрерывным.
Во вложении моя задача (Mathcad). Имеется n-мерная нелинейная система, состояние которой описывается параметрами epsilon_1 и epsilon_2. Величины M_sum и N_sum - искомые интегральные характеристики системы. Нужно найти границу области значений M_sum и N_sum с наименьшими затратами машинного времени.

У меня Ваш файл не открывается, ввиду отсутствия маткада.
Т.к. Вы выступаете на форуме по общим вопросам математики, а не на форуме по маткаду, то и задачу следует формулировать в обще-математических терминах.


Содержимое файла Mathcad:

Изображение
Изображение

Yfed
Сообщения: 4
Зарегистрирован: Ср июл 03, 2013 7:56 pm

Сообщение Yfed » Вс июл 07, 2013 10:46 pm

Kitonum писал(а):У меня Ваш файл не открывается, ввиду отсутствия маткада.
Т.к. Вы выступаете на форуме по общим вопросам математики, а не на форуме по маткаду, то и задачу следует формулировать в обще-математических терминах.

Общематематическая формулировка такова: необходимо определить границу отображения, не являющегося непрерывным, при минимальных вычислительных затратах. Наверняка математики этим занимались и разрабатывали соответствующие методы, которые, я надеюсь, мне в этой теме подскажут.