Помогите найти сумму ряда

Форум для обсуждения вопросов математики

Модератор: Admin

_sable_
Сообщения: 3
Зарегистрирован: Вт янв 22, 2013 4:00 pm

Помогите найти сумму ряда

Сообщение _sable_ » Вт янв 22, 2013 4:14 pm

Добрый день!
Никак не могу найти сумму ряда, я матанализ уже подзабыл, возможно это известный ряд, но сам решить не смог.
Изображение

корень из 2 минус 1 в степени (2 в степени n)

Markiyan Hirnyk
Сообщения: 1366
Зарегистрирован: Вс дек 04, 2011 11:07 pm

Re: Помогите найти сумму ряда

Сообщение Markiyan Hirnyk » Вт янв 22, 2013 8:58 pm

_sable_ писал(а):Добрый день!
Никак не могу найти сумму ряда, я матанализ уже подзабыл, возможно это известный ряд, но сам решить не смог.
Изображение

корень из 2 минус 1 в степени (2 в степени n)

Применяя систему Maple (cм. http://ru.wikipedia.org/wiki/Maple)
evalf(Sum((sqrt(2)-1)^(2^n), n = 0 .. infinity), 20)
0.61609099183953092659
Это значение одной из простейших лакунарной функции (cм. http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9B%D0% ... 0%B8%D1%8F) в точке sqrt(2)-1.

_sable_
Сообщения: 3
Зарегистрирован: Вт янв 22, 2013 4:00 pm

Сообщение _sable_ » Ср янв 23, 2013 1:06 pm

Спасибо, этот ряд у меня получился при решении такой задачи "В квадрат вписана окружность. В угол квадрата вне окружности вписана другая, маленькая окружность. В тот же угол вне второй окружности вписана третья и т.д. до бесконечности. Найти сумму площадей всех окружностей. Сторона квадрата известна". Думал может быть будет красивый ответ)) но видимо так в виде суммы ряда он и останется

Markiyan Hirnyk
Сообщения: 1366
Зарегистрирован: Вс дек 04, 2011 11:07 pm

Неточность

Сообщение Markiyan Hirnyk » Ср янв 23, 2013 2:20 pm

_sable_ писал(а):Спасибо, этот ряд у меня получился при решении такой задачи: "В квадрат вписана окружность. В угол квадрата вне окружности вписана другая, маленькая окружность. В тот же угол вне второй окружности вписана третья и т.д., до бесконечности. Найти сумму площадей всех окружностей. Сторона квадрата известна". Думал, может быть будет красивый ответ)), нo, видимо , так в виде суммы ряда он и останется.

Если я не ошибаюсь, то Вы допустили неточность: длины радиусов этих кругов являются членами геометрической прогрессии с показателем (sqrt(2)-1)/(sqrt(2)+1).

Kitonum
Сообщения: 2084
Зарегистрирован: Ср дек 31, 2008 1:55 pm
Откуда: г. Пенза

Сообщение Kitonum » Ср янв 23, 2013 2:29 pm

_sable_ писал(а):Спасибо, этот ряд у меня получился при решении такой задачи "В квадрат вписана окружность. В угол квадрата вне окружности вписана другая, маленькая окружность. В тот же угол вне второй окружности вписана третья и т.д. до бесконечности. Найти сумму площадей всех окружностей. Сторона квадрата известна". Думал может быть будет красивый ответ)) но видимо так в виде суммы ряда он и останется

Если считать, что сторона квадрата равна 1, то ответ у Вас явно неверный, т.к. только площадь одного внутреннего круга равна Pi*D^2/4=Pi*1^2/4=0.7853981635...

_sable_
Сообщения: 3
Зарегистрирован: Вт янв 22, 2013 4:00 pm

Сообщение _sable_ » Ср янв 23, 2013 5:52 pm

Kitonum писал(а):Если считать, что сторона квадрата равна 1, то ответ у Вас явно неверный, т.к. только площадь одного внутреннего круга равна Pi*D^2/4=Pi*1^2/4=0.7853981635...

Markiyan Hirnyk писал(а):Если я не ошибаюсь, то Вы допустили неточность: длины радиусов этих кругов являются членами геометрической прогрессии с показателем (sqrt(2)-1)/(sqrt(2)+1).

Да, я ошибся, задача действительно сводится к сумме членов геометрической прогрессии, немного поторопился)
А все же интересно, ту первую мою ошибочную запись можно свести к решению без суммы ряда?