Смущает равносильность

Форум для обсуждения вопросов математики

Модератор: Admin

rambler87
Сообщения: 33
Зарегистрирован: Чт окт 04, 2012 12:49 pm

Смущает равносильность

Сообщение rambler87 » Пт янв 11, 2013 4:58 pm

Изображение
1,2 - этапы понятны.На 3 мы объединяем совокупность в одно двойное неравенство. Но как доказывается 4 равносильность. Она мне не кажется очевидной. Методом от противного? то есть в случае если у на g(x)<0 происходит ВСЕГДА автоматическое расхождение невыполнение двойного неравенства c f(x)? Вообще равносильность интересная вещь

Kitonum
Сообщения: 2084
Зарегистрирован: Ср дек 31, 2008 1:55 pm
Откуда: г. Пенза

Re: Смущает равносильность

Сообщение Kitonum » Пт янв 11, 2013 6:26 pm

rambler87 писал(а):Изображение
1,2 - этапы понятны.На 3 мы объединяем совокупность в одно двойное неравенство. Но как доказывается 4 равносильность. Она мне не кажется очевидной. Методом от противного? то есть в случае если у на g(x)<0 происходит ВСЕГДА автоматическое расхождение невыполнение двойного неравенства c f(x)? Вообще равносильность интересная вещь

4-ая равносильность совершенно очевидна, как, впрочем, и все предыдущие. В самом деле, если g(x)>=0, то из левого утверждения сразу следует правое и наоборот. Если же g(x)<0, то двойное неравенство -g(x)<=f(x)<=g(x), очевидно, ложно и равносильность снова обеспечена.

Кстати, rambler87, я ответил на Ваш вопрос про лодки на mathforum.ru

rambler87
Сообщения: 33
Зарегистрирован: Чт окт 04, 2012 12:49 pm

Сообщение rambler87 » Пт янв 11, 2013 8:27 pm

Да спасибо большое!)
Просто хочу полностью разобраться с этими равносильностями - например есть уравнение/неравенство с модулями, корнями четных степеней и если (как я по вредной привычке делаю) начать находить все ОДЗ и раскрывать все модулю непосредственно по определению - то тут без mathematica точно не обойтись и единственный путь - правильно перейти к равносильному уравнению.
С уравнениями конечно в большинстве случаев просто - проверяешь одз после получения, а вот с неравенствами так запросто не справишься.

Например вот у нас будет неравенство вот такой формы:

|f(x,sqrt(x))|< g(x,sqrt(x))

Модули, корни четных степеней. - И все неудобоваримые функции ОДЗ которых искать трудно.
И возникает вопрос к какому - же равносильному уравнению, системе это все безобразие сводить?
Можно для начала (как я написал выше) в общую систему свалить все ОДЗ и открытия модулей по определению и ограничения - и потом уже логически постараться избавится от решения лишних неравенств?

rambler87
Сообщения: 33
Зарегистрирован: Чт окт 04, 2012 12:49 pm

Сообщение rambler87 » Пт янв 11, 2013 8:29 pm

Спасибо еще раз за задачу)) Интересно париться с такими задачками иногда. Я почти решил ее с физ точки зрения - но ушел не на тот путь догадок)))