Какими методами решаются задачи более сложного вида

Форум для обсуждения вопросов математики

Модератор: Admin

Kitonum
Сообщения: 2084
Зарегистрирован: Ср дек 31, 2008 1:55 pm
Откуда: г. Пенза

Сообщение Kitonum » Вс дек 02, 2012 9:48 pm

rambler87 писал(а):Я просто не совсем понимаю 2 путь задания - он не относится к вышеуказанной задачи и чем-то отличается, но чем я не уяснил еще.

Объясняю подробнее.

Если Вы решаете уравнение или неравенство с параметром a , в котором x - основная переменная, то обычная задача - это для каждого значения параметра a указать множество значений x , удовлетворяющих ему при соответствующем a .
Более частная задача, как Вы пишите: найти те значения параметра a , при каждом из которых x>0 . Но такая постановка задачи некорректна: что значит множество больше нуля? Ведь каждому значению параметра a соответствует не один икс, а целое множество иксов. Здесь можно понимать двояко: то ли в этом множестве имеется хотя бы один положительный элемент, то ли каждый элемент этого множества является положительным. На мой взгляд более естественным является второе понимание, но тогда Ваш ответ (-2.25; 2) неверен! Этот ответ является правильным именно при первом понимании!

rambler87
Сообщения: 33
Зарегистрирован: Чт окт 04, 2012 12:49 pm

Сообщение rambler87 » Вс дек 02, 2012 10:28 pm

Kitonum писал(а): Здесь можно понимать двояко: то ли в этом множестве имеется хотя бы один положительный элемент, то ли каждый элемент этого множества является положительным. На мой взгляд более естественным является второе понимание, но тогда Ваш ответ (-2.25; 2) неверен! Этот ответ является правильным именно при первом понимании!

Теперь яснее все) Я просто не придал в приведенном выше задании внимания тому, что я посчитал пустяком. Вот дословно задание из учебник: "Найдите все значения "а", при которых неравенство имеет хотя бы одно положительное решение" То есть как я понимаю тут как раз путь 1) и в ответах из учебника тоже сходится. то есть тут надо выбрать как раз те "а", которые соответствуют множествам "х" содержащем хотя бы одно положительное решение.

mois
Сообщения: 95
Зарегистрирован: Ср дек 09, 2009 9:04 pm

Сообщение mois » Пн дек 03, 2012 4:14 pm

Честно говоря, я не совсем понял следующее утверждение Kitonum о пакете Mathematica: "только он, например, решает уравнения, системы и неравенства с параметрами". Что имеется в виду? Команда solve пакета Maple, также "решает уравнения, системы и неравенства с параметрами". Например:

solve(abs(1-а*x)=1+(1-2*a)*x+a*x^2,x);
Движение - все, конечная цель - ничто

Kitonum
Сообщения: 2084
Зарегистрирован: Ср дек 31, 2008 1:55 pm
Откуда: г. Пенза

Сообщение Kitonum » Пн дек 03, 2012 7:51 pm

mois писал(а):Честно говоря, я не совсем понял следующее утверждение Kitonum о пакете Mathematica: "только он, например, решает уравнения, системы и неравенства с параметрами". Что имеется в виду? Команда solve пакета Maple, также "решает уравнения, системы и неравенства с параметрами". Например:

solve(abs(1-а*x)=1+(1-2*a)*x+a*x^2,x);

Вы правы в том, что мне не стоило выражаться столь категорично, точнее было бы написать, что Maple пытается решать уравнения, системы и неравенства с параметрами, но далеко не всегда это получается успешно.
Посмотрим на "решение" указанного примера (максимально упрощённое со всеми предположениями, использую Maple 14):

Изображение

Первая строка решения почти правильная, только при a=0 будет не два, а только одно решение (этот случай, конечно, нужно было выделить отдельно). К тому же непонятно, откуда взялось число (7-2*sqrt(10))/9 = 0.075.. На графике

Изображение

никаких особенностей в этой точке не просматривается.

Вторая строка некорректна, т.к. в промежутке (7-2*sqrt(10))/9 < x < (7+2*sqrt(10))/9 указано только нулевое решение, на самом деле есть и ненулевое, которое совпадает с нулевым только при a=0 .

А вот ещё несколько примеров "решения" с помощью Maple достаточно простых уравнений и неравенства с параметрами. В двух случаях решения некорректны, а в одном оно не указывается вообще:

Изображение

Markiyan Hirnyk
Сообщения: 1366
Зарегистрирован: Вс дек 04, 2011 11:07 pm

Maple 16.02

Сообщение Markiyan Hirnyk » Пн дек 03, 2012 8:35 pm

mois писал(а):Честно говоря, я не совсем понял следующее утверждение Kitonum о пакете Mathematica: "только он, например, решает уравнения, системы и неравенства с параметрами". Что имеется в виду? Команда solve пакета Maple, также "решает уравнения, системы и неравенства с параметрами". Например:

solve(abs(1-а*x)=1+(1-2*a)*x+a*x^2,x);

См. ответ в Maple 16.02 в http://rapidshare.com/files/820965061/output.mw

mois
Сообщения: 95
Зарегистрирован: Ср дек 09, 2009 9:04 pm

Сообщение mois » Пн дек 03, 2012 9:04 pm

Странно, у меня в Maple 13 команда

simplify(solve(abs(1-а*x) = 1+(1-2*a)*x+a*x^2, x)) assuming a::real,x::real;

выдает совсем другое решение (слишком длинное чтобы приводить его тут). Это решение похоже на решение, указанное Markiyan Hirnyk, но слегка отличается в условиях на параметр а.

Вполне допускаю, что команда solve уступает некоторым командам Mathematica (видимо она очень старая - наверное еще из прошлого века).
Движение - все, конечная цель - ничто

Kitonum
Сообщения: 2084
Зарегистрирован: Ср дек 31, 2008 1:55 pm
Откуда: г. Пенза

Сообщение Kitonum » Пн дек 03, 2012 9:26 pm

mois писал(а):...Вполне допускаю, что команда solve уступает некоторым командам Mathematica (видимо она очень старая - наверное еще из прошлого века).

Одним словом, возможности Maple в решении примеров с параметрами пока ещё слишком "сырые", чтобы говорить, что она их решает. В таких примерах лучше уж сразу использовать Mathematica.

Kais
Сообщения: 5
Зарегистрирован: Пн май 13, 2013 10:14 pm

Вопрос по примеру неравенства с помощью mathematica

Сообщение Kais » Пн май 13, 2013 10:32 pm

Решение,использующее Mathematica 8.04:
In[1]:= Reduce[Abs[x + a] + x^2 < 2, x, Reals]
Out[1]= (-(9/4) < a <= -Sqrt[2] &&
1/2 - 1/2 Sqrt[9 + 4 a] < x < 1/2 + 1/2 Sqrt[9 + 4 a]) || (-Sqrt[2] < a <= Sqrt[2] &&
1/2 - 1/2 Sqrt[9 + 4 a] < x < -(1/2) + 1/2 Sqrt[9 - 4 a]) || (Sqrt[2] < a < 9/4 && -(1/2) - 1/2 Sqrt[9 - 4 a] < x < -(1/2) + 1/2 Sqrt[9 - 4 a])
Решение, использующее Maple 16.02:
plots:-implicitplot(abs(x+a)+x^2 <= 2, a = -5 .. 5, x = -5 .. 5, numpoints = 10^5, filled = true)
Изображение
m := proc (a) solve(abs(x+a)+x^2 <= 2, x) end proc:
m(1)
RealRange(1/2-(1/2)*sqrt(13), (1/2)*sqrt(5)-1/2)[/quote]

Здравствуйте! я недавно занимаюсь с mathematica 4.1 и пример, который вы здесь разобрали, меня очень заинтересовал. Многое в и-нете есть, а решений с неравенствами особо не наблюдается.
Подскажите пожалуйста, если мне нужно в системе координат на квадрате в пределах от 0 до 2*Pi по x и у обозначить неравенство
sin(x+y)>cos(x-y)
, то правильную ли я делаю запись (?) :

Reduce[Exists[x,y,Sin{x+y}>Cos{x-y}, x[0..2*Pi],y[0..2*Pi]],x,y, Reals]

алексей_алексей
Сообщения: 1776
Зарегистрирован: Вс май 01, 2005 9:02 pm

Re: Вопрос по примеру неравенства с помощью mathematica

Сообщение алексей_алексей » Вт май 14, 2013 9:23 pm

Kais писал(а):Подскажите пожалуйста, если мне нужно в системе координат на квадрате в пределах от 0 до 2*Pi по x и у обозначить неравенство
sin(x+y)>cos(x-y)...

Если рассмотреть не неравенство, а равенство:
sin(x + y) - cos(x - y)=0;
То это линия уровня, и слева или справа от неё будет выполняться нужное неравенство. Точки (Pi/4,Pi/4) с периодом Pi, задают клеточную область, в которой в шахматном порядке внутри клеток выполняются условия “>” или “<” для слагаемых левой части равенства…

Kais
Сообщения: 5
Зарегистрирован: Пн май 13, 2013 10:14 pm

Re: Вопрос по примеру неравенства с помощью mathematica

Сообщение Kais » Вт май 14, 2013 9:53 pm

алексей_алексей писал(а):
Kais писал(а):Подскажите пожалуйста, если мне нужно в системе координат на квадрате в пределах от 0 до 2*Pi по x и у обозначить неравенство
sin(x+y)>cos(x-y)...

Если рассмотреть не неравенство, а равенство:
sin(x + y) - cos(x - y)=0;
То это линия уровня, и слева или справа от неё будет выполняться нужное неравенство. Точки (Pi/4,Pi/4) с периодом Pi, задают клеточную область, в которой в шахматном порядке внутри клеток выполняются условия “>” или “<” для слагаемых левой части равенства…



Спасибо за ответ, но я вас не очень поняла. картинка должна получиться примерно следующего вида:
Изображение

Kitonum
Сообщения: 2084
Зарегистрирован: Ср дек 31, 2008 1:55 pm
Откуда: г. Пенза

Сообщение Kitonum » Ср май 15, 2013 6:48 am

Mathematica рисует такую картинку:

RegionPlot[Sin[x + y] > Cos[x - y], {x, 0, 2*Pi}, {y, 0, 2*Pi},
PlotPoints -> 100]


Изображение

В самом деле, получается шахматная доска, длина стороны клеток равна Pi.

Если нужно просто решить это неравенство в указанной области, то пишем:

Reduce[{Sin[x + y] > Cos[x - y], 0 <= x <= 2*Pi, 0 <= y <= 2*Pi}, {x,
y}, Reals]


Изображение

Kitonum
Сообщения: 2084
Зарегистрирован: Ср дек 31, 2008 1:55 pm
Откуда: г. Пенза

Сообщение Kitonum » Ср май 15, 2013 7:09 am

Упрощение:

FullSimplify[Reduce[{Sin[x + y] > Cos[x - y], 0 <= x <= 2*Pi, 0 <= y <= 2*Pi}, {x,
y}, Reals]]


Изображение

алексей_алексей
Сообщения: 1776
Зарегистрирован: Вс май 01, 2005 9:02 pm

Re: Вопрос по примеру неравенства с помощью mathematica

Сообщение алексей_алексей » Ср май 15, 2013 8:55 am

Kais писал(а):
... но я вас не очень поняла. картинка должна получиться примерно следующего вида:
Изображение

А я думаю, что теперь Вас прекрасно понял – у Вас всё правильно…

Kais
Сообщения: 5
Зарегистрирован: Пн май 13, 2013 10:14 pm

Сообщение Kais » Ср май 15, 2013 9:06 pm

Kitonum писал(а):Mathematica рисует такую картинку:

В самом деле, получается шахматная доска, длина стороны клеток равна Pi.

Если нужно просто решить это неравенство в указанной области, то пишем:

Reduce[{Sin[x + y] > Cos[x - y], 0 <= x <= 2*Pi, 0 <= y <= 2*Pi}, {x,
y}, Reals]


Изображение



шахматная доска - необычный вид)
Спасибо за ответ!