система линейных уравнений с двумя параметрами

Форум для обсуждения вопросов математики

Модератор: Admin

arnbog
Сообщения: 61
Зарегистрирован: Вт май 09, 2006 12:01 pm

система линейных уравнений с двумя параметрами

Сообщение arnbog » Вт авг 14, 2012 4:13 pm

Дана система линейных уравнений с двумя параметрами r и x

Изображение

Исключив параметр x, можно получить уравнение окружности f(U,V,r)

Изображение

Помогите, пожалуйста, получить это уравнение окружности.
спасибо

Kitonum
Сообщения: 2084
Зарегистрирован: Ср дек 31, 2008 1:55 pm
Откуда: г. Пенза

Re: система линейных уравнений с двумя параметрами

Сообщение Kitonum » Вт авг 14, 2012 6:25 pm

arnbog писал(а):Дана система линейных уравнений с двумя параметрами r и x

Изображение

Исключив параметр x, можно получить уравнение окружности f(U,V,r)

Изображение

Помогите, пожалуйста, получить это уравнение окружности.

Подставьте значения U и V из системы в левую часть соотношения f. После очевидного упрощения получите правую часть.

Вычисление в Maple:

normal(eval((U-r/(r+1))^2+V^2, [U=(r^2-1+x^2)/((r+1)^2+x^2), V=2*x/((r+1)^2+x^2)]));
1/(r+1)^2

arnbog
Сообщения: 61
Зарегистрирован: Вт май 09, 2006 12:01 pm

Re: система линейных уравнений с двумя параметрами

Сообщение arnbog » Вт авг 14, 2012 7:55 pm

Kitonum писал(а):
arnbog писал(а):Дана система линейных уравнений с двумя параметрами r и x

Изображение

Исключив параметр x, можно получить уравнение окружности f(U,V,r)

Изображение

Помогите, пожалуйста, получить это уравнение окружности.

Подставьте значения U и V из системы в левую часть соотношения f. После очевидного упрощения получите правую часть.

Вычисление в Maple:

normal(eval((U-r/(r+1))^2+V^2, [U=(r^2-1+x^2)/((r+1)^2+x^2), V=2*x/((r+1)^2+x^2)]));
1/(r+1)^2


Спасибо, но это не то, что требуется получить. В одном из источников о диаграмме Смита автор рекомендует выделить полный квадрат x^2 из второго уравнения системы и подставить в первое уравнение. Я перепробовал несколько способов, но ничего не получается. Покажите, пожалйста, как выделить полный квадрат х^2 из второго уравнения.
спасибо

Kitonum
Сообщения: 2084
Зарегистрирован: Ср дек 31, 2008 1:55 pm
Откуда: г. Пенза

Re: система линейных уравнений с двумя параметрами

Сообщение Kitonum » Вт авг 14, 2012 8:49 pm

arnbog писал(а):...но это не то, что требуется получить...

1) А что требуется получить? По смыслу заданного Вами вопроса требуется доказать, что если числа U, V, r, x удовлетворяют системе, то первые три числа удовлетворяют уравнению окружности! Я показал как это сделать. Что не так?

2) Конечно, существует много разных способов доказать одно и то же утверждение. Но для доказательства вполне достаточно воспользоваться каким-то одним.

arnbog
Сообщения: 61
Зарегистрирован: Вт май 09, 2006 12:01 pm

Re: система линейных уравнений с двумя параметрами

Сообщение arnbog » Вт авг 14, 2012 9:01 pm

Kitonum писал(а):
arnbog писал(а):...но это не то, что требуется получить...

1) А что требуется получить? По смыслу заданного Вами вопроса требуется доказать, что если числа U, V, r, x удовлетворяют системе, то первые три числа удовлетворяют уравнению окружности! Я показал как это сделать. Что не так?

2) Конечно, существует много разных способов доказать одно и то же утверждение. Но для доказательства вполне достаточно воспользоваться каким-то одним.


Речь идёт о том, что необходимо аналитически получить третье уравнение из первых двух. Считайте, что это упражнение по алгебре, а не по применению математического пакета.
спасибо

Kitonum
Сообщения: 2084
Зарегистрирован: Ср дек 31, 2008 1:55 pm
Откуда: г. Пенза

Сообщение Kitonum » Ср авг 15, 2012 10:12 am

arnbog писал(а):...
Речь идёт о том, что необходимо аналитически получить третье уравнение из первых двух. Считайте, что это упражнение по алгебре, а не по применению математического пакета.

1) Как наиболее просто и естественно решить проблему я Вам уже написал:"Подставьте значения U и V из системы в левую часть соотношения f. После очевидного упрощения получите правую часть". Всё это легко делается вручную без всяких матпакетов. Я воспользовался пакетом, т.к. мне было просто лень выполнять очевидные, но нудные преобразования.

2) Если же Вам по какой-то причине необходимо получить соотношение f прямыми вычислениями из системы, не опираясь на само соотношение f и делая вид, что оно Вам неизвестно, то можно действовать по схеме:

а) Возводите обе части второго уравнения системы в квадрат.

б) Из первого уравнения системы выражаете x^2 и подставляете в то, что получили в а)

в) После длинных и нудных преобразований получаете свою окружность.

Проверено, всё получается.

arnbog
Сообщения: 61
Зарегистрирован: Вт май 09, 2006 12:01 pm

Сообщение arnbog » Ср авг 15, 2012 12:08 pm

Kitonum писал(а):
arnbog писал(а):...
Речь идёт о том, что необходимо аналитически получить третье уравнение из первых двух. Считайте, что это упражнение по алгебре, а не по применению математического пакета.

1) Как наиболее просто и естественно решить проблему я Вам уже написал:"Подставьте значения U и V из системы в левую часть соотношения f. После очевидного упрощения получите правую часть". Всё это легко делается вручную без всяких матпакетов. Я воспользовался пакетом, т.к. мне было просто лень выполнять очевидные, но нудные преобразования.

2) Если же Вам по какой-то причине необходимо получить соотношение f прямыми вычислениями из системы, не опираясь на само соотношение f и делая вид, что оно Вам неизвестно, то можно действовать по схеме:

а) Возводите обе части второго уравнения системы в квадрат.

б) Из первого уравнения системы выражаете x^2 и подставляете в то, что получили в а)

в) После длинных и нудных преобразований получаете свою окружность.

Проверено, всё получается.


Спасибо. Должно получиться.
спасибо