Нестандартная система уравнений с тремя неизвестными

Форум для обсуждения вопросов математики

Модератор: Admin

Delphist
Сообщения: 30
Зарегистрирован: Пн фев 27, 2006 11:43 am

Нестандартная система уравнений с тремя неизвестными

Сообщение Delphist » Сб июн 02, 2012 10:41 am

Здравствуйте.
Есть нестандартная задача, а именно, пусть:
x1 - св-во N биологического компонента А1,
x2 - св-во N компонента А2,
x3 - св-во N компонента А3

затем составляют 5-смесей с разным вводом A1, A2, A3 (A1 = 40%, A2 и A3 от 0 до 60%), но в сумме A1+A2+A3 = 100.
Также известно значение свойства N всей смеси, необходимо найти X1, X2, X3.
Составляю систему из 5-ти уравнений:
x1*0.4 + x2*0 + x3*0.6 = 92.45; т.е. А1 введено 40%, А2 введено 0%, А3 = 60%
x1*0.4 + x2*0.6 + x3*0 = 94.48;
x1*0.4 + x2*0.45 + x3*0.15 = 91.51;
x1*0.4 + x2*0.3 + x3*0.3 = 92.55;
x1*0.4 + x2*0.15 + x3*0.45=90.81;

Если решать как систему уравнений, то получаются какие-то бредовые значения, вообще x1, x2, x3 должны быть в диапазоне от 90-93
Как решаются подобные задачи?

Markiyan Hirnyk
Сообщения: 1366
Зарегистрирован: Вс дек 04, 2011 11:07 pm

Нет решений

Сообщение Markiyan Hirnyk » Сб июн 02, 2012 4:37 pm

Эта система не имеет решений. Вот аргументы с Maple:
sys := {.4*x1+.15*x2+.45*x3 = 90.81, .4*x1+.3*x2+.3*x3 = 92.55, .4*x1+.45*x2+.15*x3 = 91.51, .4*x1+.6*x2+x3*0 = 94.48, .4*x1+x2*0+.6*x3 = 92.45};
with(LinearAlgebra):
var := {x1, x2, x3}:
A, B := GenerateMatrix(sys, var);

Matrix(5, 3, {(1, 1) = .4, (1, 2) = .6, (1, 3) = 0, (2, 1) = .4, (2, 2) = 0, (2, 3) = .6, (3, 1) = .4, (3, 2) = .15, (3, 3) = .45, (4, 1) = .4, (4, 2) = .3, (4, 3) = .3, (5, 1) = .4, (5, 2) = .45, (5, 3) = .15}), Vector(5, {(1) = 94.48, (2) = 92.45, (3) = 90.81, (4) = 92.55, (5) = 91.51})
Rank(A);

2
with(Student[LinearAlgebra]):
C := GenerateMatrix(sys, var);

Matrix(5, 4, {(1, 1) = .4, (1, 2) = .6, (1, 3) = 0, (1, 4) = 94.48, (2, 1) = .4, (2, 2) = 0, (2, 3) = .6, (2, 4) = 92.45, (3, 1) = .4, (3, 2) = .15, (3, 3) = .45, (3, 4) = 90.81, (4, 1) = .4, (4, 2) = .3, (4, 3) = .3, (4, 4) = 92.55, (5, 1) = .4, (5, 2) = .45, (5, 3) = .15, (5, 4) = 91.51})
Rank(C);

3
Поскольку Rank(A)< Rank(C), то по теореме Кронеккера-Капелли СЛАУ не имеет решений

Delphist
Сообщения: 30
Зарегистрирован: Пн фев 27, 2006 11:43 am

Re: Нет решений

Сообщение Delphist » Сб июн 02, 2012 8:29 pm

спасибо

Markiyan Hirnyk
Сообщения: 1366
Зарегистрирован: Вс дек 04, 2011 11:07 pm

Приближенное решение

Сообщение Markiyan Hirnyk » Сб июн 02, 2012 10:54 pm

с Maple:
DirectSearch:-SolveEquations([op(sys)])
[5.39783999999994,,[[[-1.16799999999971],[-1.0419999999999],[1.07400000000014],[-0.189999999999799],[1.32600000000023]]],[x1=106.573754979368,x2=84.4708300137552,x3=81.2974966804215],110]

Kitonum
Сообщения: 2084
Зарегистрирован: Ср дек 31, 2008 1:55 pm
Откуда: г. Пенза

Re: Нестандартная система уравнений с тремя неизвестными

Сообщение Kitonum » Вс июн 03, 2012 12:51 am

Delphist писал(а):...Составляю систему из 5-ти уравнений:
x1*0.4 + x2*0 + x3*0.6 = 92.45; т.е. А1 введено 40%, А2 введено 0%, А3 = 60%
x1*0.4 + x2*0.6 + x3*0 = 94.48;
x1*0.4 + x2*0.45 + x3*0.15 = 91.51;
x1*0.4 + x2*0.3 + x3*0.3 = 92.55;
x1*0.4 + x2*0.15 + x3*0.45=90.81;

Как решаются подобные задачи?

У Вас 5 уравнений с 3 неизвестными. Такие системы называются переопределёнными и обычно несовместны, т.е. не имеют точного решения. Но так как Ваша система получена в результате эксперимента, то числа справа только приближённые и поэтому несовместность вполне естественна. Но можно искать не точное решение, которого нет, а приближённое решение этой системы, для которого сумма квадратов невязок, т.е. разностей между правыми и левыми частями, минимальна. Такой подход называется методом наименьших квадратов (МНК).
Проще всего, конечно, решать в каком-нибудь матпакете.

Решение в Maple с учётом Ваших дополнительных условий:

Optimization[Minimize]((0.4*x1+x2*0+0.6*x3-92.45)^2+(0.4*x1+0.6*x2+x3*0-94.48 )^2+(0.4*x1+0.45*x2+0.15*x3-91.51)^2+(0.4*x1+0.3*x2+0.3*x3-92.55)^2+(0.4*x1+0.15*x2+0.45*x3-90.81)^2, {x1 >= 90, x2 >= 90, x3 >= 90, x1 <= 93, x2 <= 93, x3 <= 93});

[5.5600800000, [x1 = 93., x2 = 93., x3 = 90.5199999999999960]]

Delphist
Сообщения: 30
Зарегистрирован: Пн фев 27, 2006 11:43 am

Re: Нестандартная система уравнений с тремя неизвестными

Сообщение Delphist » Пн июн 04, 2012 9:35 pm

Kitonum писал(а):Решение в Maple с учётом Ваших дополнительных условий:

Optimization[Minimize]((0.4*x1+x2*0+0.6*x3-92.45)^2+(0.4*x1+0.6*x2+x3*0-94.48 )^2+(0.4*x1+0.45*x2+0.15*x3-91.51)^2+(0.4*x1+0.3*x2+0.3*x3-92.55)^2+(0.4*x1+0.15*x2+0.45*x3-90.81)^2, {x1 >= 90, x2 >= 90, x3 >= 90, x1 <= 93, x2 <= 93, x3 <= 93});

[5.5600800000, [x1 = 93., x2 = 93., x3 = 90.5199999999999960]]


Спасибо, скажите, пожалуйста, в данном случае что такое 5.5600800000?

Kitonum
Сообщения: 2084
Зарегистрирован: Ср дек 31, 2008 1:55 pm
Откуда: г. Пенза

Re: Нестандартная система уравнений с тремя неизвестными

Сообщение Kitonum » Пн июн 04, 2012 9:56 pm

Delphist писал(а):
Kitonum писал(а):Решение в Maple с учётом Ваших дополнительных условий:

Optimization[Minimize]((0.4*x1+x2*0+0.6*x3-92.45)^2+(0.4*x1+0.6*x2+x3*0-94.48 )^2+(0.4*x1+0.45*x2+0.15*x3-91.51)^2+(0.4*x1+0.3*x2+0.3*x3-92.55)^2+(0.4*x1+0.15*x2+0.45*x3-90.81)^2, {x1 >= 90, x2 >= 90, x3 >= 90, x1 <= 93, x2 <= 93, x3 <= 93});

[5.5600800000, [x1 = 93., x2 = 93., x3 = 90.5199999999999960]]


Спасибо, скажите, пожалуйста, в данном случае что такое 5.5600800000?


Это минимальное значение суммы квадратов невязок, т.е. разностей между правыми и левыми частями Ваших уравнений, которое достигается при указанных значениях неизвестных x1, x2, x3.

Delphist
Сообщения: 30
Зарегистрирован: Пн фев 27, 2006 11:43 am

Re: Нестандартная система уравнений с тремя неизвестными

Сообщение Delphist » Вт июн 05, 2012 6:50 am

Kitonum писал(а):Это минимальное значение суммы квадратов невязок, т.е. разностей между правыми и левыми частями Ваших уравнений, которое достигается при указанных значениях неизвестных x1, x2, x3.

скажите, пожалуйста, а можно определить чему должны равняться x1, x2, x3, чтобы разница между левой и правой частью была наименьшей (сумма квадратов невязок) т.е. в условии задачи строго не устанавливается диапазон принадлежности x1, x2 и x3

Скажите, пожалуйста, правильно ли я понимаю, что Вы по сути свели задачу к симплекс-методу, где целевой ф-цией является минимизация суммы квадратов, а условиями - диапазон принадлежности x1, x2, x3

алексей_алексей
Сообщения: 1776
Зарегистрирован: Вс май 01, 2005 9:02 pm

Re: Нестандартная система уравнений с тремя неизвестными

Сообщение алексей_алексей » Вт июн 05, 2012 4:12 pm

Delphist писал(а):...

Вам разными способами показали, что система решений не имеет. В последнем случае это сделали путем замены Вашей задачи на эквивалентную. Но это не условная оптимизация, а глобальная. Скорее всего, Вы просто неправильно соорудили саму задачу…

Delphist
Сообщения: 30
Зарегистрирован: Пн фев 27, 2006 11:43 am

Re: Нестандартная система уравнений с тремя неизвестными

Сообщение Delphist » Вт июн 05, 2012 7:10 pm

алексей_алексей писал(а):Скорее всего, Вы просто неправильно соорудили саму задачу…

Я полностью согласен с Kitonum, он правильно дал описание того, что в задаче данные экспериментов, поэтому нужно решать в определенном диапазоне и как способ предложил МНК. Затем свел МНК к оптимизации, в результате чего целевой ф-цией выступила квадратичная. Это задача напоминает симплекс (только там правда целевая ф-ция линейна).

Kitonum
Сообщения: 2084
Зарегистрирован: Ср дек 31, 2008 1:55 pm
Откуда: г. Пенза

Re: Нестандартная система уравнений с тремя неизвестными

Сообщение Kitonum » Ср июн 06, 2012 7:45 am

Delphist писал(а): ... 1) скажите, пожалуйста, а можно определить чему должны равняться x1, x2, x3, чтобы разница между левой и правой частью была наименьшей (сумма квадратов невязок) т.е. в условии задачи строго не устанавливается диапазон принадлежности x1, x2 и x3

2) Скажите, пожалуйста, правильно ли я понимаю, что Вы по сути свели задачу к симплекс-методу, где целевой ф-цией является минимизация суммы квадратов, а условиями - диапазон принадлежности x1, x2, x3


1) Если ограничения снять, то задача решается точно командой minimize:

minimize((0.4*x1+x2*0+0.6*x3-92.45)^2+(0.4*x1+0.6*x2+x3*0-94.48 )^2+(0.4*x1+0.45*x2+0.15*x3-91.51)^2+(0.4*x1+0.3*x2+0.3*x3-92.55)^2+(0.4*x1+0.15*x2+0.45*x3-90.81)^2, location);

5.397840000, {[{x1 = 228.5200000 - 1.500000000 x3,
x2 = 3.173333333 + x3, x3 = x3}, 5.397840000]}


Видим, что в этом случае задача не имеет однозначного решения, вместо x3 можете взять любое число при одном и том же значении целевой функции.

2) Да, при линейных ограничениях это задача квадратичного программирования.

Для получения однозначного решения (без ограничений на переменные) необходимо проведение дополнительных экспериментов.

Delphist
Сообщения: 30
Зарегистрирован: Пн фев 27, 2006 11:43 am

Re: Нестандартная система уравнений с тремя неизвестными

Сообщение Delphist » Ср июн 06, 2012 9:20 am

Kitonum писал(а):Для получения однозначного решения (без ограничений на переменные) необходимо проведение дополнительных экспериментов.

Спасибо большое, буду думать - возникнут вопросы я напишу