Нахождение экстремума методом множителей Лагранжа

Форум для обсуждения вопросов математики

Модератор: Admin

neighbour
Сообщения: 3
Зарегистрирован: Вт июл 10, 2007 10:38 pm

Нахождение экстремума методом множителей Лагранжа

Сообщение neighbour » Вс фев 05, 2012 10:42 pm

Здравствуйте!
Помогите, пожалуйста, разобраться, как использовать условия локального экстремума II порядка при исследовании функции многих переменных на условный экстремум на следующем примере.
Необходимо решить задачу:
exp(x1*x2)->extr при условии
x1+x2=1

Решение задачи: в точке (1/2,1/2) -- максимум. Это легко проверяется, хотя бы построением графика y=exp(x1*(1-x1)).

Вопрос состоит в использовании метода неопределенных множителей Лагранжа. Проблема в том, что матрица Гессе (вторых производных) функции Лагранжа этой задачи не обладает какой-либо знакоопределенностью, т.е. не выполняется даже необходимое условие экстремума, тогда как экстремум в данной точке есть.
Условие задачи и полученная матрица вторых производных -- в прилагаемом файле.
Изображение

Kitonum
Сообщения: 2079
Зарегистрирован: Ср дек 31, 2008 1:55 pm
Откуда: г. Пенза

Сообщение Kitonum » Пн фев 06, 2012 2:18 am

Вы забыли, что считается не обычный экстремум, а условный! Из уравнения связи

x+y = 1

следует что

dy = -dx,

поэтому второй дифференциал в точке (x, y) = (1/2, 1/2) равен

d^2(z) = 1/4*e^(1/4)*(dx^2+10*dx*dy+dy^2) = -2*e^(1/4)*dx^2,

т.е. является отрицательно определённой квадратичной формой, что очевидно без всякого критерия Сильвестра.

neighbour
Сообщения: 3
Зарегистрирован: Вт июл 10, 2007 10:38 pm

Сообщение neighbour » Пн фев 06, 2012 1:47 pm

Спасибо! Не обратил внимание, что знакоопределенность исследуется не во всем пространстве, а в подпространстве, ограничиваемом доп. условиями. Тема закрыта.