Найти соотношение

Форум пользователей пакета Maple

Модератор: Admin

Regina
Сообщения: 7
Зарегистрирован: Сб ноя 26, 2011 5:36 pm

Найти соотношение

Сообщение Regina » Вс ноя 27, 2011 3:33 pm

Всем здравствуйте.
Решала вот такую задачку:

Какому соотношению будут удовлетворять все возможные наборы величин a,b,c, определяемые системами равенств вида:
a=b*(n/p)+c*(p/n), b=c*(p/m)+a*(m/p), c=a*(m/n)+b*(n/m)
для произвольно заданных значений m,n,p?


Решала следующим образом:
e1:=normal(a-b*n/p-c*p/n)*p*n;
e2:=normal(b-c*p/m-a*m/p)*p*m;
e2 := b*m*p-c*p^2-a*m^2;
e3:=normal(c-a*m/n-b*n/m)*m*n;
ee1:=resultant(e1,e3,n);
ee2:=resultant(ee1,e2,m);


Но нужный ответ не получается.
Не могли бы вы подсказать, что я делаю не так, если я вообще хоть что-нибудь делаю правильно?

hirnyk
Сообщения: 438
Зарегистрирован: Пт апр 08, 2005 1:41 pm

a=b=c=0

Сообщение hirnyk » Вс ноя 27, 2011 4:30 pm

Код: Выделить всё

> solve({a = b*n/p+c*p/n, b = c*p/m+a*m/p, c = a*m/n+b*n/m}, {a, b, c});

                            {a = 0, b = 0, c = 0}

Regina
Сообщения: 7
Зарегистрирован: Сб ноя 26, 2011 5:36 pm

Сообщение Regina » Вс ноя 27, 2011 9:02 pm

Спасибо) Только можете пояснить, для чего это?

hirnyk
Сообщения: 438
Зарегистрирован: Пт апр 08, 2005 1:41 pm

Сообщение hirnyk » Вс ноя 27, 2011 9:43 pm

Regina писал(а):Спасибо) Только можете пояснить, для чего это?
Не понял Ваш вопрос, поэтому не могу на него ответить. Найдено решение системы трех линейных алгебраических уравнений с тремя неизвестными.
Отсюда следует, все три приведенные Вами соотношения выполнены только в случае a=b=c=0.

Kitonum
Сообщения: 2078
Зарегистрирован: Ср дек 31, 2008 1:55 pm
Откуда: г. Пенза

Сообщение Kitonum » Вс ноя 27, 2011 11:59 pm

Regina писал(а):...Только можете пояснить, для чего это?

Решение г-на hirnyk нуждается в небольшом уточнении. Дело в том, что Maple решает системы с параметрами в общем случае, т.е. в предположении, что главный определитель отличен от 0. В этом случае получаем единственное решение a=b=c=0 . Но возникает вопрос - а что будет, если главный определитель равен 0? Тогда возможны и ненулевые решения, но нулевое решение остаётся . Так как в условии требуется найти a, b, с чтобы равенства были верны всегда, то окончательно получаем a=b=c=0 или, что эквивалентно, a^2+b^2+c^2=0 .

Regina
Сообщения: 7
Зарегистрирован: Сб ноя 26, 2011 5:36 pm

Сообщение Regina » Вт дек 06, 2011 11:23 pm

Думала, что все поняла и сама смогу решить, но не получается добиться нужного ответа.

В этом задании нужно исключить m,n,p, чтобы получилось выражение, состоящее из a,b,c.

Должно получится примерно так:

a*b*c(a^3+b^3+c^3 -5*a*b*c)=0

Kitonum
Сообщения: 2078
Зарегистрирован: Ср дек 31, 2008 1:55 pm
Откуда: г. Пенза

Сообщение Kitonum » Ср дек 07, 2011 12:46 am

Regina писал(а):...В этом задании нужно исключить m,n,p, чтобы получилось выражение, состоящее из a,b,c...
[/color]

А где же задание?

Regina
Сообщения: 7
Зарегистрирован: Сб ноя 26, 2011 5:36 pm

Сообщение Regina » Ср дек 07, 2011 1:22 am

Оно было в первом сообщении


Какому соотношению будут удовлетворять все возможные наборы величин a,b,c, определяемые системами равенств вида:
a=b*(n/p)+c*(p/n), b=c*(p/m)+a*(m/p), c=a*(m/n)+b*(n/m)
для произвольно заданных значений m,n,p?

Kitonum
Сообщения: 2078
Зарегистрирован: Ср дек 31, 2008 1:55 pm
Откуда: г. Пенза

Сообщение Kitonum » Ср дек 07, 2011 1:32 am

Regina писал(а):Оно было в первом сообщении


Какому соотношению будут удовлетворять все возможные наборы величин a,b,c, определяемые системами равенств вида:
a=b*(n/p)+c*(p/n), b=c*(p/m)+a*(m/p), c=a*(m/n)+b*(n/m)
для произвольно заданных значений m,n,p?

Но Вам же его решили! Чем же Вы недовольны? Если Вы не согласны с решением - напишите с чем именно несогласны!

Regina
Сообщения: 7
Зарегистрирован: Сб ноя 26, 2011 5:36 pm

Сообщение Regina » Ср дек 07, 2011 5:42 pm

Мне не нужно решать эту систему из трех уравнений.
Мне нужно исключить m, n, p. и получить вот такое выражение:
a*b*c(a^3+b^3+c^3 -5*a*b*c)=0

то есть нужно выражать одни переменные через другие.

Извините, если изначально нечетко выражалась.

Kitonum
Сообщения: 2078
Зарегистрирован: Ср дек 31, 2008 1:55 pm
Откуда: г. Пенза

Сообщение Kitonum » Ср дек 07, 2011 9:20 pm

Regina писал(а):...Мне нужно исключить m, n, p. и получить вот такое выражение:
a*b*c(a^3+b^3+c^3 -5*a*b*c)=0
то есть нужно выражать одни переменные через другие
...

Вот решение Вашего примера в пакете Mathematica:

In[1]:=Eliminate[{a == b*(n/p) + c*(p/n), b == c*(p/m) + a*(m/p), c == a*(m/n) + b*(n/m)}, {m, n, p}]

Out[1]= -5 a b c + c^3 == -a^3 - b^3

Как решать в Maple или вручную не знаю!

Markiyan Hirnyk
Сообщения: 1335
Зарегистрирован: Вс дек 04, 2011 11:07 pm

С Maple

Сообщение Markiyan Hirnyk » Ср дек 07, 2011 10:38 pm

Вот что получил

with(PolynomialIdeals):
J := <a*n*p-b*n^2+c*p^2, b*m*p-c*p^2+a*m^2, c*m*n-a*m^2+b*n^2>:
J1 := EliminationIdeal(J, {a, b, c, m, n})

<c*m*n-a*m^2+b*n^2, 2*b^2*a^3*n*m^3-c^3*a^2*m^4+b^3*a^2*m^4+c*b*a^3*m^4+a^5*m^4, c^3*a*n*m^3-b^3*a*n*m^3+c*b*a^2*n*m^3-a^4*n*m^3-2*b*a^3*m^4, c^3*n^2*m^2-a^3*n^2*m^2+c*b^2*n*m^3-c^2*a*n*m^3-2*b*a^2*n*m^3-b^2*a*m^4+c*a^2*m^4, c^6*a^2*m^4-2*c^3*b^3*a^2*m^4+b^6*a^2*m^4-c^2*b^2*a^4*m^4-2*c^3*a^5*m^4-2*b^3*a^5*m^4+a^8*m^4, c^4*n*m^3-c*b^3*n*m^3+c^2*b*a*n*m^3+2*b^2*a^2*n*m^3-c*a^3*n*m^3-c^3*a*m^4+b^3*a*m^4-c*b*a^2*m^4+a^4*m^4, c^4*b*n*m^2-c*b^4*n*m^2+c^2*b^2*a*n*m^2+c^3*a^2*n*m^2+b^3*a^2*n*m^2-a^5*n*m^2-c^3*b*a*m^3+b^4*a*m^3-c*b^2*a^2*m^3-b*a^4*m^3>
J2 := EliminationIdeal(J1, {a, b, c, m});
<c^6*a^2*m^4-2*c^3*b^3*a^2*m^4+b^6*a^2*m^4-c^2*b^2*a^4*m^4-2*c^3*a^5*m^4-2*b^3*a^5*m^4+a^8*m^4>
Saturate(J2, a^2*m^4)
<c^6-2*c^3*b^3+b^6-c^2*b^2*a^2-2*c^3*a^3-2*b^3*a^3+a^6>

Markiyan Hirnyk
Сообщения: 1335
Зарегистрирован: Вс дек 04, 2011 11:07 pm

Исправление

Сообщение Markiyan Hirnyk » Ср дек 07, 2011 10:55 pm

>with(PolynomialIdeals):
>J := <a*n*p-b*n^2-c*p^2, b*m*p-c*p^2-a*m^2, c*m*n-a*m^2-b*n^2>:
>J1 := EliminationIdeal(J, {a, b, c, m, n});

<-c*m*n+a*m^2+b*n^2, c^3*a^2*m^4+b^3*a^2*m^4-5*c*b*a^3*m^4+a^5*m^4, c^3*a*n*m^3+b^3*a*n*m^3-5*c*b*a^2*n*m^3+a^4*n*m^3, c^3*n^2*m^2+a^3*n^2*m^2+c*b^2*n*m^3-5*c^2*a*n*m^3-b^2*a*m^4+5*c*a^2*m^4, c^4*n*m^3+c*b^3*n*m^3-5*c^2*b*a*n*m^3+c*a^3*n*m^3-c^3*a*m^4-b^3*a*m^4+5*c*b*a^2*m^4-a^4*m^4, c^4*b*n*m^2+c*b^4*n*m^2-5*c^2*b^2*a*n*m^2-c^3*a^2*n*m^2-b^3*a^2*n*m^2+6*c*b*a^3*n*m^2-a^5*n*m^2-c^3*b*a*m^3-b^4*a*m^3+5*c*b^2*a^2*m^3-b*a^4*m^3>
> J2 := EliminationIdeal(J1, {a, b, c, m});
<c^3*a^2*m^4+b^3*a^2*m^4-5*c*b*a^3*m^4+a^5*m^4>

>Saturate(J2, a^2*m^4);
<c^3+b^3-5*c*b*a+a^3>