Система уравнений с параметром

Форум пользователей пакета Maple

Модератор: Admin

Elena212
Сообщения: 20
Зарегистрирован: Чт май 20, 2010 10:33 am

Система уравнений с параметром

Сообщение Elena212 » Ср ноя 23, 2011 3:59 pm

Всем здравствуйте!
Пытаюсь решить такую задачку:

Нужно исследовать при каких значениях параметров система уравнений будет иметь единственное решение, множества решений, ни одного решений
f := a*x + b*y + 2*z = 1;
g := a*x + (2*b-1)*y + 3*z = 1;
h := a*x + b*y + (b+3)*z = 2*b-1;


И собственно, у меня затруднения с самого начала. Как задать условия для поиска одного или нескольких решений, или как указать отсутствие решения.
Буду рада любой помощи. Спасибо.

hirnyk
Сообщения: 438
Зарегистрирован: Пт апр 08, 2005 1:41 pm

Анализ

Сообщение hirnyk » Ср ноя 23, 2011 5:17 pm

Если a ≠ 0 и b^2 ≠ 1, то решение единственно.
Если b = 1, то множество решений бесконечно.
Если a = 0 или b = -1, то множество решений по теореме Кронекера-Капелли пусто. См.

Код: Выделить всё

> f := a*x+b*y+2*z = 1; g := a*x+(2*b-1)*y+3*z = 1; h := a*x+b*y+(b+3)*z = 2*b-1;

                             a x + b y + 2 z = 1
                         a x + (2 b - 1) y + 3 z = 1
                       a x + b y + (b + 3) z = 2 b - 1
> solve({f, g, h}, {x, y, z});

                /        b - 5            2        2 (b - 1)\
               { x = - ---------, y = - -----, z = --------- }
                \      (b + 1) a        b + 1        b + 1  /
> with(LinearAlgebra);
> M := GenerateMatrix([f, g, h], [x, y, z]);

          Matrix(3, 3, {(1, 1) = a, (1, 2) = b, (1, 3) = 2, (2, 1) = a, (2, 2) = 2*b-1, (2, 3) = 3, (3, 1) = a, (3, 2) = b, (3, 3) = b+3}), Vector(3, {(1) = 1, (2) = 1, (3) = 2*b-1})
> M[1];

                           Matrix(3, 3, {(1, 1) = a, (1, 2) = b, (1, 3) = 2, (2, 1) = a, (2, 2) = 2*b-1, (2, 3) = 3, (3, 1) = a, (3, 2) = b, (3, 3) = b+3})
> Determinant(M[1]);

                                     2   
                                  a b  - a
> solve(%);

               {a = 0, b = b}, {a = a, b = 1}, {a = a, b = -1}
> solve(eval({f, g, h}, b = -1), {x, y, z});
> solve(eval({f, g, h}, b = 1), {x, y, z});

                         /      y - 1              \
                        { x = - -----, y = y, z = 0 }
                         \        a                /
> solve(eval({f, g, h}, a = 0), {x, y, z});
> Rank(M[1]);

                                      3
> M[2];

                       Vector[column](%id = 174529284)
> E := `<|>`(M[1], M[2]);
              Matrix(3, 4, {(1, 1) = a, (1, 2) = b, (1, 3) = 2, (1, 4) = 1, (2, 1) = a, (2, 2) = 2*b-1, (2, 3) = 3, (2, 4) = 1, (3, 1) = a, (3, 2) = b, (3, 3) = b+3, (3, 4) = 2*b-1})
> Rank(eval(M[1], b = -1));

                                      2
> Rank(eval(E, b = -1));

                                      3
> Rank(eval(M[1], a = 0));

                                      2
> Rank(eval(E, a = 0));

                                      3

Kitonum
Сообщения: 2080
Зарегистрирован: Ср дек 31, 2008 1:55 pm
Откуда: г. Пенза

Re: Анализ

Сообщение Kitonum » Ср ноя 23, 2011 7:32 pm

hirnyk писал(а): 1) Если a ≠ 0 и b^2 ≠ 1, то решение единственно.
2) Если b = 1, то множество решений бесконечно.
3) Если a = 0 или b = -1, то множество решений по теореме Кронекера-Капелли пусто.

Выводы 2) и 3) неверные или неполные.

Должно быть (C - любое число):

2) Если a = 0 и b = 1, то (x, y, z) = (C, 1, 0) – решений бесконечно много.
Если a = 0 и b = 5, то (x, y, z) = (C, -1/3, 4/3) – решений бесконечно много.
Если a ≠ 0 и b = 1, то (x, y, z) = (C, 1-a*C, 0) – решений бесконечно много.

3) Если a = 0 и (b ≠ 1 и b ≠ 5) , то решений нет.
Если a ≠ 0 и b = -1 , то решений нет.

hirnyk
Сообщения: 438
Зарегистрирован: Пт апр 08, 2005 1:41 pm

Re: Анализ

Сообщение hirnyk » Ср ноя 23, 2011 8:03 pm

Kitonum писал(а):
hirnyk писал(а): 1) Если a ≠ 0 и b^2 ≠ 1, то решение единственно.
2) Если b = 1, то множество решений бесконечно.
3) Если a = 0 или b = -1, то множество решений по теореме Кронекера-Капелли пусто.

Выводы 2) и 3) неверные или неполные.

Должно быть (C - любое число):

2) Если a = 0 и b = 1, то (x, y, z) = (C, 1, 0) – решений бесконечно много.
Если a = 0 и b = 5, то (x, y, z) = (C, -1/3, 4/3) – решений бесконечно много.
Если a ≠ 0 и b = 1, то (x, y, z) = (C, 1-a*C, 0) – решений бесконечно много.

3) Если a = 0 и (b ≠ 1 и b ≠ 5) , то решений нет.
Если a ≠ 0 и b = -1 , то решений нет.
Пожалуйста, обоснуйте Ваш ответ.

Kitonum
Сообщения: 2080
Зарегистрирован: Ср дек 31, 2008 1:55 pm
Откуда: г. Пенза

Re: Анализ

Сообщение Kitonum » Ср ноя 23, 2011 10:32 pm

hirnyk писал(а):...Пожалуйста, обоснуйте Ваш ответ.

Обоснование очевидно! После того, как найдены нули главного определителя, нужно аккуратно разобрать все возможные варианты, когда a=0 и b=±1.
Вы же можете просто подставить найденные комбинации a и b из моих ответов в систему и убедиться в их правильности!

Например:

a:=0: b:=5:
solve({a*x + b*y + 2*z = 1,a*x + (2*b-1)*y + 3*z = 1,a*x + b*y + (b+3)*z = 2*b-1});

{y = -1/3, z = 4/3}

hirnyk
Сообщения: 438
Зарегистрирован: Пт апр 08, 2005 1:41 pm

Re: Анализ

Сообщение hirnyk » Ср ноя 23, 2011 10:49 pm

Kitonum писал(а):
hirnyk писал(а):...Пожалуйста, обоснуйте Ваш ответ.

Обоснование очевидно! После того, как найдены нули главного определителя, нужно аккуратно разобрать все возможные варианты, когда a=0 и b=±1.
Вы же можете просто подставить найденные комбинации a и b из моих ответов в систему и убедиться в их правильности!

Например:

a:=0: b:=5:
solve({a*x + b*y + 2*z = 1,a*x + (2*b-1)*y + 3*z = 1,a*x + b*y + (b+3)*z = 2*b-1});

{y = -1/3, z = 4/3}
Ваш предыдущий ответ не охватывает случай a=0 и b=-1.

Kitonum
Сообщения: 2080
Зарегистрирован: Ср дек 31, 2008 1:55 pm
Откуда: г. Пенза

Re: Анализ

Сообщение Kitonum » Ср ноя 23, 2011 11:25 pm

hirnyk писал(а):Ваш предыдущий ответ не охватывает случай a=0 и b=-1.


Указанный случай входит сюда:

3) Если a = 0 и (b ≠ 1 и b ≠ 5) , то решений нет.