Вопрос по пределам

Форум для обсуждения вопросов математики

Модератор: Admin

renuar911
Сообщения: 208
Зарегистрирован: Сб дек 20, 2008 11:26 pm

Вопрос по пределам

Сообщение renuar911 » Пт ноя 11, 2011 5:46 pm

При вычислении пределов часто используют эквивалентные бесконечные малые функции. Во многих статьях по данному разделу приводятся таблицы ЭБМ. Количество таких функций обычно 7-12 в одной таблице. В отдельных публикациях мне удалось выявить еще несколько редких ЭБМ. В итоге в моей коллекции оказалось 19 эквивалентных бесконечно малых функций.
С другой стороны, пределы - это по сути такие же важные математические понятия, как, например, интеграл. Последних в справочниках огромное количество.
Вопрос такой: есть ли в литературе полная таблица ЭБМ, насчитывающая хотя бы сотни видов? Если такая таблица есть, то как ее найти в инете? Если же нет, то как ЭБМ можно генерировать самим?

Kitonum
Сообщения: 2078
Зарегистрирован: Ср дек 31, 2008 1:55 pm
Откуда: г. Пенза

Re: Вопрос по пределам

Сообщение Kitonum » Пт ноя 11, 2011 9:58 pm

renuar911 писал(а):При вычислении пределов часто используют эквивалентные бесконечные малые функции. Во многих статьях по данному разделу приводятся таблицы ЭБМ. Количество таких функций обычно 7-12 в одной таблице. В отдельных публикациях мне удалось выявить еще несколько редких ЭБМ. В итоге в моей коллекции оказалось 19 эквивалентных бесконечно малых функций.
С другой стороны, пределы - это по сути такие же важные математические понятия, как, например, интеграл. Последних в справочниках огромное количество.
Вопрос такой: есть ли в литературе полная таблица ЭБМ, насчитывающая хотя бы сотни видов? Если такая таблица есть, то как ее найти в инете? Если же нет, то как ЭБМ можно генерировать самим?

Их немного потому, что больше и не нужно! Для вычисления сравнительно простых пределов вполне достаточно. А для более сложных пределов, чем искать в некой таблице нужную эквивалентность, существует единообразный эффективный способ - использовать формулу Тейлора с остаточным членом в форме Пеано!
Приведу простой пример. Предположим, Вам нужно вычислить следующий предел (пишу формулы в синтаксисе Maple) limit((sin(tan(x))-tan(sin(x)))/x^7,x=0). Ответ: -1/30 . Конечно, ответ можно получить мгновенно, если использовать эквивалентность sin(tan(x)) - tan(sin(x)) ~ -x^7/30 (можете добавить эту эквивалентность в свою таблицу). Но подобных примеров можно написать многие сотни и тысячи. И чем искать на каждый подобный пример свою уникальную эквивалентность, проще воспользоваться формулой Тейлора до члена соответствующего порядка.
Если же Вам всё-таки очень хочется составить большую таблицу эквивалентностей, то вот схема составления: берёте любую бесконечно малую при x → x0 , раскладываете в ряд Тейлора по степеням x-x0 до первого ненулевого слагаемого и получаете готовую эквивалентность! Именно так получен пример, приведённый выше! Вот ещё одна подобная эквивалентность tan(sin(x))-arcsin(arctan(x)) ~ x^3/3

renuar911
Сообщения: 208
Зарегистрирован: Сб дек 20, 2008 11:26 pm

Re: Вопрос по пределам

Сообщение renuar911 » Пт ноя 11, 2011 10:46 pm

Ну потрясающе! До чего же с Вами интересно работать!
Я попробую именно так находить. Цель вот какая - поискать очень красивые и неожиданные ЭБМ типа первого замечательного. Поскольку число комбинаций формул огромно, вполне возможно найти много интересных открытий. Почему бы не попытаться?
Получится - хорошо, а нет, так другую задачку придумаем.
Еще раз, Kitonum, спасибо! Уж сбился со счета, сколько раз Вы меня выручали.
Георгий.

renuar911
Сообщения: 208
Зарегистрирован: Сб дек 20, 2008 11:26 pm

Re: Вопрос по пределам

Сообщение renuar911 » Пн ноя 14, 2011 12:18 am

Kitonum!

Я повозился немного и нашел такие (возможно, давно известные) эквивалентные бесконечно малые:

1) exp(x)-x-1 --> (x^2)/2

Вместо x можно ставить sin(x),arcsin(x) , tan(x), arctan(x),sinh(x), tanh(x)

2) exp(x)+cos(x)-2 --> x

exp(x)+cosh(x)-2 --> x

3) exp(x)-(1+x)^k --> (1-k)x

Имеют ли эти "открытия" хоть какую-либо пользу? Примеры с подобными функциями я смог решить только методом Лопиталя.
Скажите свое мнение.

Kitonum
Сообщения: 2078
Зарегистрирован: Ср дек 31, 2008 1:55 pm
Откуда: г. Пенза

Re: Вопрос по пределам

Сообщение Kitonum » Пн ноя 14, 2011 6:58 pm

renuar911 писал(а):Kitonum!

Я повозился немного и нашел такие (возможно, давно известные) эквивалентные бесконечно малые:

1) exp(x)-x-1 --> (x^2)/2

Вместо x можно ставить sin(x),arcsin(x) , tan(x), arctan(x),sinh(x), tanh(x)

2) exp(x)+cos(x)-2 --> x

exp(x)+cosh(x)-2 --> x

3) exp(x)-(1+x)^k --> (1-k)x

Имеют ли эти "открытия" хоть какую-либо пользу? Примеры с подобными функциями я смог решить только методом Лопиталя.
Скажите свое мнение.

1) Конечно, эти примеры какого-то научного значения не имеют, т.к. легко следуют из разложений по формуле Тейлора конкретных функций. Но они полезны с учебно-методической точки зрения. Преподаватель может, используя эти формулы, подобрать разнообразные примеры для проведения самостоятельных и контрольных работ по теме "Пределы".

2) Вы можете значительно разнообразить свои формулы, вводя параметры! Так, например, получается

exp(a*x) - b*x - 1 ~ (a - b)*x , если a ≠ b и

exp(a*x) - b*x - 1 ~ (a^2/2)*x^2 , если a = b .

3) Вот Вам в подарок ещё парочка семейств простых эквивалентностей:

exp(a*x) - exp(b*x) ~ (a - b)*x

ln(a*x + 1) - ln(b*x + 1) ~ (a - b)*x

renuar911
Сообщения: 208
Зарегистрирован: Сб дек 20, 2008 11:26 pm

Re: Вопрос по пределам

Сообщение renuar911 » Пн ноя 14, 2011 8:13 pm

Kitonum писал(а): ... они полезны с учебно-методической точки зрения. Преподаватель может, используя эти формулы, подобрать разнообразные примеры для проведения самостоятельных и контрольных работ по теме "Пределы".

Ну надо же! Я только что думал именно об этом! Прям телепатия какая-то! :D

Спасибо за дополнительные возможности! Учту и их тоже!
У меня же - несколько десятков находок типа

arcsin(x)-sinh(x) --> x^5/15
x-sin(x) --> x^3/6

и т.д.
Составил морфологическую таблицу ЭБМ, стало более-менее системно. Накопился материал для очередной главы книги.
Выявил большое множество интересных пределов типа

limit((x-sin(x))/(tan(x)-sin(x)), x = 0);

которые не решает даже ВольфрамАльфа. Я сам сумел этот пример раскрыть только Лопиталем и Тейлором. А без оных никак не подбираются ключики. Но при помощи новых ЭБМ ответ получается за секунды.

Markiyan Hirnyk
Сообщения: 1335
Зарегистрирован: Вс дек 04, 2011 11:07 pm

Re: Вопрос по пределам

Сообщение Markiyan Hirnyk » Пн дек 05, 2011 11:51 am

renuar911 писал(а):Выявил большое множество интересных пределов типа

limit((x-sin(x))/(tan(x)-sin(x)), x = 0);

которые не решает даже ВольфрамАльфа. Я сам сумел этот пример раскрыть только Лопиталем и Тейлором. А без оных никак не подбираются ключики. Но при помощи новых ЭБМ ответ получается за секунды.
Решает. См. http://www.wolframalpha.com/input/?i=li ... at+x+%3D+0