Мат ожидание и стандартное отклонение LN-распределения

Форум для обсуждения вопросов математики

Модератор: Admin

alexska90
Сообщения: 3
Зарегистрирован: Чт ноя 07, 2013 8:55 am

Мат ожидание и стандартное отклонение LN-распределения

Сообщение alexska90 » Чт ноя 07, 2013 10:18 am

Третий день пытаюсь разобраться в LN-распределении (логарифмически нормальном) и все никак не осилить.. прошу помощи, а то голова вскипит скоро

LN-распределение предполагается использовать для моделирования показателей надежности электронных модулей. В качестве входных данных используются результаты 48 часовых испытаний 15 модулей.
В ходе испытаний были отмечены следующие отказы:
8 ч - 1 отказ
22 ч - 3 отказа
28 ч - 1 отказ
36 ч - 5 отказов
48 ч - 0 отказов

t=[8 22 22 22 28 36 36 36 36 36]

Есть два источника, которые предлагают разные формулы для расчета параметров мат ожидания и стандартного отклонения для LN-распределения и я уже запутался какое использовать..

https://drive.google.com/file/d/0B5dwc6im3R-KVnJmY2hOWFFiUnc/edit?usp=sharing

В таблице приведены свойства LN-распределения, и ниже два варианта расчета параметров мат ожидания и стандартного отклонения.

Первый источник предлагает расчитывать мaт ожидание и стандартное отклонение через мат ожидание и дисперсию случайной величины t.

Второй предлагает расчет мат ожидания и стандартного отклонения стандартным (для равномерного распределения) методом, просто заменяя t на ln(t)

Какой вариант верный? т.к. при расчете получаются разные итоговые значения, хотя считается по идее одно и то же

Так же интересно чем отличаются:
s, mu и M(t)
D, sigma и D(t)
v и V(t)

Заранее спасибо!
Изображение

Markiyan Hirnyk
Сообщения: 1366
Зарегистрирован: Вс дек 04, 2011 11:07 pm

Метод моментов

Сообщение Markiyan Hirnyk » Чт ноя 07, 2013 9:55 pm

Для оценки параметров логнормального распределения по значениям элементов выборки s := [8, 22, 22, 22, 28, 36, 36, 36, 36, 36] применим метод моментов http://uk.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0% ... 1%96%D0%B2 ( в русскоязычной версии Вики изложение заумное и не производит положитедьного впечатления об авторе) и Maple. Согласно http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9B%D0% ... 0%B8%D0%B5 , математическое ожидание логнормального распределения с параметрами mu и sigma равно exp(mu+(1/2)*sigma^2), а его дисперсия - exp(sigma^2+2*mu)*(exp(sigma^2)-1). Вычисляем выборочные среднее и дисперсию в Maple (по формулам внизу и справа Вашего вопроса)
with(Statistics): Mean(s);
28.2000000000000
Variance(s);
91.9555555555555
и приравниваем их соответсвенно к математическому ожиданию и дисперсии логнормального распределения. Полученную систему двух уравнений с двумя неизвестными решаем численно в Maple:
fsolve({exp(sigma^2+2*mu)*(exp(sigma^2)-1) = Variance(s), exp(mu+(1/2)*sigma^2) = Mean(s)})
{mu = 3.284611243, sigma = .3307891634}
Счастливый конец. Напоследок позвольте дать Вам совет пользоваться одним источником или источниками со стандартными обозначениями.

alexska90
Сообщения: 3
Зарегистрирован: Чт ноя 07, 2013 8:55 am

Re: Метод моментов

Сообщение alexska90 » Пт ноя 08, 2013 10:01 am

Сделав нехитрые преобразования и подстановки в систему уравнений получил формулы из первого пункта.
Значения mu и sigma вышли те же, что у Вас. Спасибо!)

Судя Вадзинский Р.Н. "Справочник по вероятностным распределениям" формулы из второго пункта тоже получаются методом моментов (ММ). Значения параметров при этом получаются совсем другие
mu= 3.26
sigma=0.47

как же так?
Изображение

Markiyan Hirnyk
Сообщения: 1366
Зарегистрирован: Вс дек 04, 2011 11:07 pm

Не знаю

Сообщение Markiyan Hirnyk » Пт ноя 08, 2013 1:59 pm

Понятия не имею.

Markiyan Hirnyk
Сообщения: 1366
Зарегистрирован: Вс дек 04, 2011 11:07 pm

Ответ

Сообщение Markiyan Hirnyk » Вс ноя 10, 2013 8:16 am

Markiyan Hirnyk писал(а):Понятия не имею.
Ответ : множество точечных оценок параметра или параметров генеральной совокупности бесконечно. Результаты применения разных точечных оценок для конкретных значений элементов выборки могут отличаться. Более простой пример: выборочное среднее и медиана являются ТО генерального среднего. Для сравнения ТО используют несмещенность, состоятельность, эффективность и др. Замечу,что оптимальная оценка может не существовать. В случае существования она единственна.

Markiyan Hirnyk
Сообщения: 1366
Зарегистрирован: Вс дек 04, 2011 11:07 pm

Дополнение

Сообщение Markiyan Hirnyk » Вс ноя 10, 2013 10:31 am

Вадзинский Р.Н. применяет метод моментов к логарифмам значений выборки из логнормальной генеральной совокупности, что равносильно применению метода моментов к выборке из нормально распределенной генеральной совокупности. Я же применяю этот метод к значениям выборки из логнормальной генеральной совокупности. Получаются две разные оценки.

alexska90
Сообщения: 3
Зарегистрирован: Чт ноя 07, 2013 8:55 am

Re: Дополнение

Сообщение alexska90 » Пн ноя 11, 2013 8:34 am

Markiyan Hirnyk писал(а):Вадзинский Р.Н. применяет метод моментов к логарифмам значений выборки из логнормальной генеральной совокупности, что равносильно применению метода моментов к выборке из нормально распределенной генеральной совокупности. Я же применяю этот метод к значениям выборки из логнормальной генеральной совокупности. Получаются две разные оценки.


Markiyan Hirnyk, спасибо Вам большое за разъяснение!
Теперь все более-менее ясно