Сомнительный результат inttrans:-fourier

Форум пользователей пакета Maple

Модератор: Admin

Markiyan Hirnyk
Сообщения: 1366
Зарегистрирован: Вс дек 04, 2011 11:07 pm

Сомнительный результат inttrans:-fourier

Сообщение Markiyan Hirnyk » Пт дек 20, 2019 9:00 pm

Рассмотрим преобразование Фурье

Код: Выделить всё

inttrans:-fourier(log(abs(x)), x, s);
Pi*(1 - 2*Heaviside(s))/s

Поскольку функция abs(log(abs(x))) не интегрируема на действительной оси, то результат следует понимать в некоем обобщенном смысле, скажем в интеграле берется главное значение в смысле Коши. Посмотрим, так ли это:

Код: Выделить всё

int(exp(-I*s*x)*log(abs(x)), x = -infinity .. infinity, CPV)
Pi*(1 - 2*Heaviside(s))/s
int(exp(-(-2)*I*x)*log(abs(x)), x = -infinity .. infinity, CPV);
-Pi/2                     

Все согласуется. Однако копнем глубже

Код: Выделить всё

j := int(cos(2*x)*log(abs(x)), x = -a .. a) assuming a>0;
j := 2*ln(a)*sin(a)*cos(a) - Si(2*a)
k := int(sin(2*x)*log(abs(x)), x = -a .. a)  assuming a>0;
k := 0
limit(j, a = infinity);
                           undefined
MultiSeries:-limit(j, a = infinity);
                           undefined

, что противоречит вышеизложенному. Насколько мне известно из форумов, команды

Код: Выделить всё

inttrans:-fourier
и

Код: Выделить всё

int(..., x = -infinity .. infinity, CPV);
зачастую выдают значения, изначально заложенные в них таблично. Вдобавок, Вики (см. (317) в таблице) приводит иной результат. Вики ссылается на
Erdélyi, Arthur, ed. (1954), Tables of Integral Transforms, Vol. 1, McGraw-Hill
и
Kammler, David (2000), A First Course in Fourier Analysis, Prentice Hall, ISBN 978-0-13-578782-3
, однако в указанных книгах формулы с постоянной Эйлера не нашел.