F(X)=0, метод решения систем нелинейных уравнений

[алексей_алексей]

d

[алексей_алексей]

...

[алексей_алексей]

...

[Yu_K]

Именно подобную задачу (у меня были 1)овалы Кассини и эллипс 2) лемниската Бернулли и эллипс, восемь точек пересечения ) я пробовал решать в прошлом году - я смог предлагаемым методом найти только 4 корня либо на одной ветви либо на другой - одновременно найти все 8 корней этим методом мне не удалось. Поэтому чтобы не быть голословным, уважаемый Алексей, приведите систему для предлагаемого Вами метода продолжения по параметру и прочие условия именно для этой картинки.

Возможно, затрону ещё проблему оценки близости найденного решения к реальному корню. Правда, для этого хотелось бы было иметь оппонента. Или оппонентов.

А по качетву метода - метод точный можно привести примеры, это уже обсуждалось на форуме - т.е. если Вы можете найти точно точку пересечения двух кривых - то в данном случае есть кривая, которая проходит через все корни. Вопрос, конечно, насколько это проще исходной задачи?

[уни]

Вот примеры, которые действительно были получены при использовании метода Драгилева. Вы можете самостоятельно построить эти поверхности при помощи implicitplot3d() в каком-нибудь пакете. Отличие в том, что implicitplot3d() перебирает всё заданное Вами пространство в виде куба для отыскания и построения поверхности, метод же движется вдоль поверхности просто "собирая" столько точек сколько нужно для отображения. Естественно, это гораздо быстрее, нежели перебирать всё пространство в кубе. Но метод Драгилева предполагает дифференцируемость уравнения, тогда как неявные методы этого не требуют, поэтому при сложном аналитическом уравнении может быть не возможным воспользоваться методом, хотя можно было бы и заменить степенными рядами, но это уже другой вопрос. Насчёт быстродействия. Лучше всего реализовывать на высокоуровневом языке, как это сделал уважаемый Алексей.
На последней картинке приведена живая визуализация процесса поиска решения, когда кривая из n+1 пространства пересекает n-пространство, в месте пересечения - корни. Параметр и уравнение, для которых проводился расчёт, изображены также на картинке. Для упрощения визуализации, переменная z опущена, чтобы мы могли "видеть" 4-мерное пространство.

С помощью самого Маткада и красиво построил поверхности методом Драгилева uni, ныне просто уни. Мне же удалось сохранить имя, но мои рисунки сделаны из точек.

Алексей, все мои 3D картинки тоже из точек. Надеюсь, эти картинки помогут в понимании метода, покажут практическую реализуемость или просто порадуют глаз.

Именно подобную задачу (у меня были 1)овалы Кассини и эллипс 2) лемниската Бернулли и эллипс, восемь точек пересечения ) я пробовал решать в прошлом году - я смог предлагаемым методом найти только 4 корня либо на одной ветви либо на другой - одновременно найти все 8 корней этим методом мне не удалось.

Попробую как-нить сделать последнюю картинку для предлагаемых кривых.

[Yu_K]

Картинка для поиска корней простенькой системы, предлагаемым методом приведена ниже - видно что находятся только два корня из 4-х. Смена знака функции w(t) происходит всего в двух точках.

[алексей_алексей]

...

[Yu_K]

Алексей - я думаю топология семейства решений системы трех ОДУ для х,y,w в моем примере не допускает интегральной кривой проходящей через все четыре точки. Система простая и можно даже посмотреть характер особых точек и аналитически установить особенности поведения интегральных кривых. Можете поэкспериментировать. В зависимости от начальных данных бирюзовая кривая проходит либо через две верхние точки (корни системы) либо через две нижние.
Приведите, пож-та, для своего случая проекцию кривой (х(t),y(t),w(t)) на плоскость (х,y) - - интересно посмотреть как она у вас проходит через 8 точек.

Ну а вопрос о том, что проще искать точки пересечения двух алгебраических кривых или точки пересечения интегральной кривой с плоскостью w=0 - из риторических и думаю, как такой, ответа не требует.

[Yu_K]

Р.S. Нет оказывается, действительно, если подобрать нормально начальные данные то есть кривая, которая проходит через все 4 корня (см ниже).

[Yu_K]

И еще пара картинок - лемниската и эллипс. Восемь корней.


И исходную систему трех дифуравнений первого порядка Маткад строит автоматически - снизу вид пространственной кривой (x(t),y(t),w(t)) - ее проекция на верхнем рисунке представлена "бирюзовым цветом".

[уни]

Красота, Юрий Владимирович. Всё красиво показали, только любоваться и остаётся. Я уже испугался, когда прочёл Ваши предыдущие посты. Проблемы, о которых вспомнил Алексей (если я правильно его понял) относились к построению некоторых поверхностей, где наблюдалось очень "слабое движение" вдоль поверхности -- это раз, а второе -- несвязные поверхности нарисовать при наличии одной начальной точки не получится. Это не относится к примерам, которые показал Юрий Владимирович, т.к. он тут корни ищет, а там я поверхности строил -- это разные вещи, как мы условились понимать. Когда я рисовал линию из n+1 измерения (см выше), то я слукавил немного. Видно, что систему составляют периодический функции -- их суперпозиция, поэтому не трудно догадаться, что на самом деле корней в системе бесчисленное множество. Это видно, если нарисовать три уравнения как поверхности. Так вот, кривая у меня тоже замкнутая получилась, она проходит через 4 корня, но через все остальные нет. Это, если я правильно реешал задачу, по-моему, там много периодических решений. Мозможно это имел в виду Алексей. Я ещё подумаю над этим вопросом и над рекомендациями по выбору начальных точек.


Хотелось бы уточнить кое-что. Для тех, кто впервые сталкивается. Здесь показаны 2 варианта использования статьи (описания), приведённой в первом посте.
Поверхности строятся по первой части статьи, а по второй находятся корни. Вообще, же при построении поверхности используется вспомогательная поверхность, которая и помогает в визуализации. Если не вдаваться в подробности названий методов, а обратиться к сути, то при построении поверхностей нам нужно две поверхности: одна целевая, вторая вспомогательная. Также нужна точка, принадлежащая поверхности (целевой). Неявное уравнение поверхности содержит в себе вектор-функцию нормали поверхности, у нас есть две поверхности, которые нужно пересечь и взять точку на линии пересечения. Две вектор функции, перемноженные векторно дадут касательную к кривой пересечения. На основе этой вектор функции составляется диффур, решением которого является кривая пересечения. Если взять много положений вспомогательной поверхности, то линии пересечения своими точками образуют целевую поверхность. Довольно сумбурно, но это краткое изложение. Кто увидит код, записанный математическим языком, обнаружит там многие объекты, которые я описал и более полно сможет представить геометрическую картинку. Лучше один раз представить, чем сто раз услышать... Александр Дубанов рисовал как раз такие картинки когда-то.
Эта техника используется при отыскании уже корней системы уравнений.

[алексей_алексей]

...

[алексей_алексей]

...

[BAT]

Уважаемый алексей-алексей! Наверное покозательным был бы пример поиска точек пересечения секанса с арктангенсом. Интересно до какой точки решения станут практически (с наперёд заданной точностью) одинаковы.

[алексей_алексей]

...