F(X)=0, метод решения систем нелинейных уравнений

Форум для обсуждения вопросов математики

Модератор: Admin

алексей_алексей
Сообщения: 1776
Зарегистрирован: Вс май 01, 2005 9:02 pm

Сообщение алексей_алексей » Пт июл 27, 2007 3:36 pm

s
Последний раз редактировалось алексей_алексей Чт июн 16, 2016 7:18 pm, всего редактировалось 2 раза.

алексей_алексей
Сообщения: 1776
Зарегистрирован: Вс май 01, 2005 9:02 pm

Сообщение алексей_алексей » Пн авг 06, 2007 4:24 pm

s
Последний раз редактировалось алексей_алексей Чт июн 16, 2016 7:19 pm, всего редактировалось 1 раз.

алексей_алексей
Сообщения: 1776
Зарегистрирован: Вс май 01, 2005 9:02 pm

Сообщение алексей_алексей » Ср авг 15, 2007 8:10 pm

s
Последний раз редактировалось алексей_алексей Чт июн 16, 2016 7:19 pm, всего редактировалось 1 раз.

алексей_алексей
Сообщения: 1776
Зарегистрирован: Вс май 01, 2005 9:02 pm

Сообщение алексей_алексей » Пн авг 20, 2007 8:16 pm

s
Последний раз редактировалось алексей_алексей Чт июн 16, 2016 7:19 pm, всего редактировалось 1 раз.

алексей_алексей
Сообщения: 1776
Зарегистрирован: Вс май 01, 2005 9:02 pm

Сообщение алексей_алексей » Вт авг 28, 2007 9:31 am

s
Последний раз редактировалось алексей_алексей Чт июн 16, 2016 7:20 pm, всего редактировалось 1 раз.

uni
Сообщения: 1817
Зарегистрирован: Сб ноя 13, 2004 3:06 pm
Откуда: п.г.т. Излучинск
Контактная информация:

Сообщение uni » Ср авг 29, 2007 12:56 pm

Т.е. как на этой картинке, Алексей?
Изображение

На плоскости изображена та самая кривая-проекция.
Теперь мы будем двигаться по дуге в пространстве n, и эта дуга есть проекция “старой дуги” из пространства n+1 на пространство n

uni
Сообщения: 1817
Зарегистрирован: Сб ноя 13, 2004 3:06 pm
Откуда: п.г.т. Излучинск
Контактная информация:

Сообщение uni » Ср авг 29, 2007 12:58 pm

А это мой пример решения той задачи:
Изображение

из топика: http://forum.exponenta.ru/viewtopic.php?t=2106

алексей_алексей
Сообщения: 1776
Зарегистрирован: Вс май 01, 2005 9:02 pm

Сообщение алексей_алексей » Ср авг 29, 2007 8:42 pm

d
Последний раз редактировалось алексей_алексей Чт июн 16, 2016 7:20 pm, всего редактировалось 1 раз.

KAM
Сообщения: 70
Зарегистрирован: Чт авг 30, 2007 7:22 pm

Сообщение KAM » Чт авг 30, 2007 7:51 pm

Интересный подход. Но переход от нелинейной системы к системе нелинейных дифференциальных уравнений кажется довольно "сомнительным успехом" для ПРОИЗВОЛЬНОЙ системы. :-)

алексей_алексей
Сообщения: 1776
Зарегистрирован: Вс май 01, 2005 9:02 pm

Сообщение алексей_алексей » Пт авг 31, 2007 10:08 am

s
Последний раз редактировалось алексей_алексей Чт июн 16, 2016 7:20 pm, всего редактировалось 1 раз.

KAM
Сообщения: 70
Зарегистрирован: Чт авг 30, 2007 7:22 pm

Сообщение KAM » Пт авг 31, 2007 1:11 pm

Так случилось, что мне приходится решать нелин. диф. краевые задачи. Их решение не тривиально, тем более если говорить о всем множестве возможных их решений. Нет ниодного доказателььства о количестве решений нелин. диф. уравнений. а также о существовании данного решения или решений.
Оно то может не понятно, но...
Дифференцирование а потом последующее нахождение определителей может существенно увеличить объем формул, а следовательно последующих вычислений.
Ну только остается, что вы не указали, что с начала решается линеыные уравнения.

Метод продолжения по параметру, как я понял сводится по сути к разбиению искомого интервала на части с одним конем и поиск нужного решения на нем...

Я не отрицаю ценности метода, но некоторые его положения вызывают сомнения.
Есть ли теоретические обоснования данного метода, его сходимости, оценка погрешности, исследование влияния начального приближения?

KAM
Сообщения: 70
Зарегистрирован: Чт авг 30, 2007 7:22 pm

Сообщение KAM » Пт авг 31, 2007 1:15 pm

Так случилось, что мне приходится решать нелин. диф. краевые задачи. Их решение не тривиально, тем более если говорить о всем множестве возможных их решений. Нет ниодного доказателььства о количестве решений нелин. диф. уравнений. а также о существовании данного решения или решений.
Оно то может не понятно, но...
Дифференцирование а потом последующее нахождение определителей может существенно увеличить объем формул, а следовательно последующих вычислений.
Ну только остается, что вы не указали, что с начала решается линеыные уравнения.

Метод продолжения по параметру, как я понял сводится по сути к разбиению искомого интервала на части с одним конем и поиск нужного решения на нем...

Я не отрицаю ценности метода, но некоторые его положения вызывают сомнения.
Есть ли теоретические обоснования данного метода, его сходимости, оценка погрешности, исследование влияния начального приближения?

P.S. Во всех примерах уравнения с дифференцирование м упрощаются. Рассмотрите пожалуйста уравннеие вида многочлен деленный на многочлен...

KAM
Сообщения: 70
Зарегистрирован: Чт авг 30, 2007 7:22 pm

Сообщение KAM » Пт авг 31, 2007 1:30 pm

Не могли бы Вы дать более полное описание метода, и пояснить его на примере.

алексей_алексей
Сообщения: 1776
Зарегистрирован: Вс май 01, 2005 9:02 pm

Сообщение алексей_алексей » Пт авг 31, 2007 3:50 pm

d
Последний раз редактировалось алексей_алексей Чт июн 16, 2016 7:21 pm, всего редактировалось 1 раз.

KAM
Сообщения: 70
Зарегистрирован: Чт авг 30, 2007 7:22 pm

Сообщение KAM » Пт авг 31, 2007 5:10 pm

Наверно я хотел получить БОЛЕЕ ПОДРОБНОЕ описание. И наверно если я его просил, то не все мне ясно в предложеном.
По методу.
Надо знать один корень... ладно... хотя вопрос о его нахождении остается, но один найти можно достаточно произвольным методом... Хорошо.
Дифференцирование системы... Например, для простоты рассмотрим:
F(x1,x2) = (x1^2*x2-x1*x2^2+x2^3-3)/(x1*x2^5-x1^2*x2^2+x2^9+3)
т.е.
D(F)(x1) = (2*x1*x2-x2^2)/(x1*x2^5-x1^2*x2^2+x2^9+3)-(-3+x1^2*x2-x1*x2^2+x2^3)/(x1*x2^5-x1^2*x2^2+x2^9+3)^2*(x2^5-2*x1*x2^2).
D(F)(x2) = (x1^2-2*x1*x2+3*x2^2)/(x1*x2^5-x1^2*x2^2+x2^9+3)-(-3+x1^2*x2-x1*x2^2+x2^3)/(x1*x2^5-x1^2*x2^2+x2^9+3)^2*(5*x1*x2^4-2*x1^2*x2+9*x2^8).
Количество арифметических операций несколько увеличилось, использование в таком случае численного метода будет затруднительней... (Знаменатель был возведен в квадрат. Была 9 степень, стала 18. Если у нас есть корень 0.1, то 0.1^9 = 0.00000001, а 0.1^18 = 0.0000000000000000001).
Из системы n уравнений с n+1 неизвестной мы как-то определили все n+1 неизвестные, и они независимы. Кроме того по правилу Крамера рассматриваются обычно два определителя и их отношение. (http://elib.ispu.ru/library/math/sem1/index.html в 15 разделе есть правило Крамера. Оно?)
В нашем примере одно уравнение, т. е. (обозначив производные как D1 и D2)
D1 * x1` + D2 * x2` = 0;
Вы утверждаете, что (для общего случая)
x1` = det(...) ... x(n+1)` = det(...).
А у меня получается, что x1` = -D1/D2 * x2`.
Либо я чего-то не понял, либо вы чего-то не договорили. В любом случае хотелось бы пояснений.

"Вторая" часть начинается с фразы: "Перейдём к решению нелинейных уравнений." А что мы раньше делали? решали систему линейных уравнений дифференцрованием?
Раз вы считаете, что хорошо описали Ваш метод, то пожалуйста дайте описание метода, который вы развиваете - продолжнеия по параметру... или ссылки на литературу (желательно доступную в инете).
Честно, не понял... ну как-то совсем не понял, хотя имел доло с методом продолжения по параметру.. Но это давно и забыл я... Каюсь!.. (Я применял его к решению нелин. диф. системы. И с ним есть некоторая, так скажу "теологическая" проблема. На каждом шаге требуется решать лин. систему, которая может быть намного "объемней" нелинейной исходной. Т.е. погрешность вычисления может быть больше. А потом это численное решение мы ещё раз приближали численно, продолжая решение по параметру. Может я плохо реализовал метод.)
Возвращаясь к тексту: утверждается, что v из отрезка [0; 1]. А затем говориться, что в процессе построения кривой v меняет знак. КАК? Либо вы что-то не договорили, либо я опять не понял.

Прошу заметить, что мои замечания не направлены на разрушения метода, я готов принять, что метод может быть полезен. Но имея некоторый опыт, я просто хотел уточнить насколько применим и эффективен метод, указать на некоторые неточности автора в изложении (которые скорее всего происходят от краткости изложения и возможно неявного постулирования некоторых положений, не достаточно хорошо мне известных).

Спасибо за предложения решать краевые задачи. Но пока со своими я справляюсь... Но учту предложение помощи. Пока я не вижу поля для применения вашего метода для решения краевых задач нелин. диф. уравнений рассматриваемых мною.